5. До кола з центром у точціі О з точки А поза колом проведено дві дотичні АВ і АС (точки В і С – точки дотику). Знайдіть радіус кола, якщо ∠ВАС=900, АВ=5см.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют 4 равных прямоугольных треугольника(половинки диагоналей это катеты, а сторона ромба гипотенуза) , пусть a,b катеты,  с гипотенуза
Сумма катетов :


Также вспомним теорему Пифагора:
 
 

Объединим оба уравнения в систему:

Выразим из второго уравнения а (подстановка)

Подставим в первое уравнение





Это приведенное уравнение, решаем по т.Виета



Подставляем оба найденных корня в подстановку


Как мы видим ответом систем являются пары чисел (15;20) и (20;15) ,не имеет значения в каком порядке расположены числа, мы нашли половины диагоналей.


Площадь ромба можно найти по формуле:

Выделяем полные квадраты:
для x:
(x²-2•2x1 + 2²) -1•2² = (x-2)²-4
для y:
2(y²+2•5/2y + (5/2)²) -2•(5/2)² = 2(y+5/2)²-(25/2)
В итоге получаем:
(x-2)²+2(y+5/2)² = 55/2
Разделим все выражение на 55/2
(2/55)*(x-2)²+(4/55)*(y+(5/2))² = 1. Это уравнение эллипса.

Полуоси эллипса: а=√(55/2), в = √55/2.

Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке:
C(2; -5/2)
Найдем координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами

Итак, фокусы эллипса:F1((-1/2)*√55;0),
                                   F2((1/2)*√55;0).

С учетом центра, координаты фокусов равны:
                                   F1((-1/2)*√55+2;(-5/2)),
                                   F2((1/2)*√55+2;(5/2)).

Тогда эксцентриситет будет равен:≈ 0,71.