5. Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.
*ОБЯЗАТЕЛЬНО РИСУНОК И ДАНО*​

Дано:

<AOB и <COD

<COD  внутри <AOB 

AO ┴ OD;  CO ┴ OB;

<AOB - <COD = 90°

Найти: <AOB и <COD.

Решение

Т.к . AO ┴ OD;  CO ┴ OB,

то <AOD = 90; <COB = 90°.

 <COD = <AOD  - <AOC

<COD = <COB  - <DOB

<COD = 90° - <AOC

<COD = 90° - <DOB

Получим

<AOC = 90° - <COD

<DOB = 90° - <COD

Следовательно <AOC = <DOB

2) По условию: <AOB - <COD = 90°

Но если от всего угла  <AOB отнять <COD, то останутся два равных угла  <AOC и <DOB, значит, это их сумма равна 90°.

<AOC + <DOB = 90° =>

<AOC = <DOB = 90°/2 = 45°

3) <COD = 90° - <DOB

<COD = 90° - 45°=45°

4) <AOB = <AOC + <DOB + <DOB

<AOB = 45° + 45° + 45° = 135°

ответ: <AOB - 135°;  <COD =45°.

ответ: πR²/6

Объяснение: Площадь части круга, заключённой между хордами, можно найти вычитанием площади меньшего сегмента с углом 60° из площади большего сегмента  с углом 120° ( см. рисунок в приложении).

                *    *    *

Площадь большего сегмента ОАСЕВ (угол 120°) равна 1/3 площади круга без площади треугольника АОВ (т.к. 120° =трети от полной градусной меры круга): πR²3- R²•sin120°/2 ( Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними)

Площадь меньшего сегмента СОЕ ( угол 60°) равна одной шестой площади круга без площади треугольника СОЕ  (т.к. 60°= 1/6 от полной градусной меры круга): πR²/6-R²•sin60°/2

sin120°=sin60° ⇒

πR²/3- R²•sin120°/2 - (πR²/6-R²•sin60°/2)=

=πR*/3-R*•sin60°/2 - πR²/6+R²•sin60°/2=

=πR*/3-πR*/6=

В приложении с рисунком дана формула сегмента круга, можно воспользоваться ею с тем же результатом.