5. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90°) AC-8 см, В=30°. Найдите остальные стороны треугольника. [6]

20√3

Объяснение:

сторона BC = 3+x

сторона CD = x

т.к. ABCD - параллелограм, AB = CD, BC = AD, угол A = углу C

рассмотрим треугольник BCD:

по теореме косинусов найдем чему равна сторона CD:

BD^2 = BC^2 + DC^2 - 2•BC•DC•cosC

подставляем числа:

7^2 = (3+х)^2 + х^2 - 2•(3+х)•х•1/2

49 = (3+х)^2 + х^2 - (3х + х^2) — сократили 2 и 1/2 и умножили вторую скобку на х,

49 = (3+х)^2 + х^2 - 3х - х^2

49 = (3+х)^2 - 3х — сократили х^2

49 = 9 + 6х +х^2 - 3х — раскрыли скобку

49 = 9 +3х +х^2 — отняли 6х-3х

40 - 3х - х^2 = 0 — перенесли 49 за знак "="

- 40 + 3х + х^2 = 0 — вынесли знак "-"

х^2 + 3х - 40 = 0 — поменяли множители местами, чтобы получить квадратное уравнение

ищем дискриминант или находим "х" по теореме Виета

x1 = -8 (- не подходит по условию)

x2 = 5

DC = 5, значит BC = 3+5=8

S = AB•AD•sinA = 5•8•√3/2 = 20√3

Так как BC == AC, то треугольник равнобёдренный.

А так как один из боковый сторон в 2 раза больше основания, то боковая сторона равна 2AB, а основание — AB.

60дм = 600см(мне со "см" считать удобнее)

Так как боковые стороны равны, составим такое уравнение:

P = 2AB+2AB+AB

2AB + 2AB + AB = 600

Тоесть:

2x+2x+x = 600

4x + x = 600

5x = 600

x = 600/5 => x = 120

Тоесть основание(AB) равно 120см

Так как боковые равные друг другу стороны в 2 раза больше основания, то 2x = 120*2 => 2x = 240см

Сделаем сантиметры дециметрами, и всё.

AB = 12дм, BC == AC = 24дм.

P = 12+24+24

P = 60дм.

2x+2x+x = 600

4x+x = 600

5x = 600

x = 600/5 => x = 120

CA == BC = 120*2 = 240

BA = 120

P = 240+240+120 = 600

BA = 12дм(120см / 10)

BC == CA = 24дм(240см / 10)