5. З точки К до площини В проведено перпендикуляр ко=3 см і дві похи- лі KCi KD. Знайдіть довжини похилих, якщо їх проекції відповідно до-
рівнюють 4 см i5 см.
​

1 Пусть АВС-данный треугольник, угол С=90°, угол А=30°, СН=√3 см-высота.1. Рассмотрим ΔВНС-прямоугольный, <Н=90°, <В=60°.По определению синуса находим гипотенузу ВС.sin B = HC/BCBC=HC/sin B = 2√3/√3 = 2 (см)2. Рассмотрим ΔАВС-прямоугольный.ВС-катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы АВ.АВ = 2ВС = 2·2 = 4(см)ответ. 4 см. 
2 площадь прямоугольного треугольника равна S=1/2*a*b=1/2*9*40=180гипотенуза по теореме Пифагора равна c=корень(9^2+40^2)=41высота, опущенная на гипотенузу равна h=2*S/c=2*180/41=360/41 я думаю это))

В сектор, центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со стороной а. Найти радиус сектора.

Обозначим вписанный квадрат АВСД, 

В и С - точки касания с дугой сектора,  точки  А и Д - с его сторонами-радиусами, О - вершина угла сектора. 

∆ АОД - равнобедренный, углы при А и Д равны 30º.

Из О проведем биссектрису угла АОД до пересечения с ВС в точке М. Обозначим точку пересечения с АД - Н. 

Тогда ВО - искомый радиус R

R²=МО²+МВ²

МВ=а/2

МО=МН+НО

МН=а, 

ОН=ДН*tg30º=(а/2)*1/√3=a/2√3

МО=а+a/2√3=а(2√3+1)

R²=[3a²+a²(2√3+1)²]:12

R²=a²(4+√3):3

R=a√(4+√3):√3

--------------------------------------------------

Или по т. косинусов:

R²=АВ²+АО²- 2АВ*АО*cos∠ВАО

∠ВАО=90º+30º=120º

cos120º=-cos∠60º= -1/2

Из ∆ АОН

АО=АН/sin60º=a/√3

R²=а²+а²/3- (2а²/√3)*(-1/2)

R²=а²(4√3+3):3√3=а²(4√3+√3*√3):3√3

Сократим выражение на √3

R²=а²(4+√3):3

R=a√(4+√3):√3