Решение основано на свойствах точки пересечения медиан и биссектрис и подобии треугольников. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒ АЕ=2/3 медианы из вершины А. Проведем через Е прямую параллельно СВ. К - точка ее пересечения с АС. Треугольники АКЕ и АСМ подобны - прямоугольные с общим углом А. Из подобия следует, что КЕ делит АС в отношении АЕ:ЕМ, т.е. 2:1⇒ АК=8, КС=4 КЕ:СМ=АК:АС КЕ:(9:2)=8:12 КЕ=36:12=3 Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле: r=(a+b-c):2 Треугольник АВС - египетский ( отношение катетов 3:4) ⇒ АВ=15 ( ту же длину гипотенузы АВ получим по т.Пифагора) r=(12+9-15):2=3 Расстояние от любой точки биссектрисы треугольника до его сторон одинаково. Расстояние от О до катетов равно r=3 ⇒ ТО=СН=ОН=3 Но КЕ=3 (см. выше) Четырехугольник СКЕН - прямоугольник ЕН=КС=4 ОЕ=ЕН-ОН=4-3=1 см
Обозначим вершины треугольника АВС, а точку пересечения медианы со стороной ВС точкой М.
Рассмотрим треугольники АВМ и АМС.
Их площади равны, так как в этих треугольниках высота из А к ВС для обоих треугольников одна и та же, а основания этих треугольников равны половине стороны и равны 4 см.
Мы знаем, что треугольники с равными высотами и основаниями имеют равную площадь. По формуле Герона полупериметр треугольников с равной площадью должны быть равны, если две стороны этих треугольников равны.
Отсюда
АС=АВ. Третья сторона этого треугольника равна боковой стороне и равна 8 см. Треугольник - равносторонний.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒
АЕ=2/3 медианы из вершины А.
Проведем через Е прямую параллельно СВ.
К - точка ее пересечения с АС.
Треугольники АКЕ и АСМ подобны - прямоугольные с общим углом А.
Из подобия следует, что КЕ делит АС в отношении АЕ:ЕМ, т.е. 2:1⇒
АК=8, КС=4
КЕ:СМ=АК:АС
КЕ:(9:2)=8:12
КЕ=36:12=3
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле:
r=(a+b-c):2
Треугольник АВС - египетский ( отношение катетов 3:4) ⇒
АВ=15 ( ту же длину гипотенузы АВ получим по т.Пифагора)
r=(12+9-15):2=3
Расстояние от любой точки биссектрисы треугольника до его сторон одинаково.
Расстояние от О до катетов равно r=3 ⇒
ТО=СН=ОН=3
Но КЕ=3 (см. выше)
Четырехугольник СКЕН - прямоугольник
ЕН=КС=4
ОЕ=ЕН-ОН=4-3=1 см
Обозначим вершины треугольника АВС, а точку пересечения медианы со стороной ВС точкой М.
Рассмотрим треугольники АВМ и АМС.
Их площади равны, так как в этих треугольниках высота из А к ВС для обоих треугольников одна и та же, а основания этих треугольников равны половине стороны и равны 4 см.
Мы знаем, что треугольники с равными высотами и основаниями имеют равную площадь.
По формуле Герона полупериметр треугольников с равной площадью должны быть равны, если две стороны этих треугольников равны.
Отсюда
АС=АВ.
Третья сторона этого треугольника равна боковой стороне и равна 8 см.
Треугольник - равносторонний.