Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.
Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1.
Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Примем отрезок АН гипотенузы за х, НВ тогда 82-х
Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ
СН²=АН*НВ
1600=х(82-х)
х²-82х+1600=0
Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32.
АН, как более короткий отрезок, равен 32,
НВ=50
Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны .
И отношение их катетов одинаково.
Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ. АН:СН=СН:НВ=4:5
АС:СВ=4/5
Но всегда простое решение - лучше сложного.
Вариант решения:
Основа решения:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.
Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40.
По т.Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9.
И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН:НС=32:40=4/5
И вариант третий - если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 ( одна из троек Пифагора)- позволяет обойтись самым минимумом вычислений.
1) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Т.е. AB₁ / B₁C = AB / BC = 8/4 = 2/1 Пусть B₁C = x, тогда AB₁ = 2x x + 2x = 9 3x = 9 x = 3 B₁C = 3, AB₁ = 6 AO - биссектриса, т.к. центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис. ΔABB₁: AB / AB₁ = BO / OB₁ = 8/6 = 4/3 2) CO ·OD = AO · OB CO = OD = x x² = 4·25 x² = 100 x = 10 CD = 20 3) ΔBMK подобен ΔDFK по двум углам (углы при вершине К равны как вертикальные, ∠КВМ = ∠KDF как соответственные)⇒ DK / KB = FD / BM = 1/2
Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.
Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1.
Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Примем отрезок АН гипотенузы за х, НВ тогда 82-х
Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ
СН²=АН*НВ
1600=х(82-х)
х²-82х+1600=0
Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32.
АН, как более короткий отрезок, равен 32,
НВ=50
Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны .
И отношение их катетов одинаково.
Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ. АН:СН=СН:НВ=4:5
АС:СВ=4/5
Но всегда простое решение - лучше сложного.
Вариант решения:
Основа решения:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.
Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40.
По т.Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9.
И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН:НС=32:40=4/5
И вариант третий - если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 ( одна из троек Пифагора)- позволяет обойтись самым минимумом вычислений.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Т.е. AB₁ / B₁C = AB / BC = 8/4 = 2/1
Пусть B₁C = x, тогда AB₁ = 2x
x + 2x = 9
3x = 9
x = 3
B₁C = 3, AB₁ = 6
AO - биссектриса, т.к. центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.
ΔABB₁: AB / AB₁ = BO / OB₁ = 8/6 = 4/3
2)
CO ·OD = AO · OB
CO = OD = x
x² = 4·25
x² = 100
x = 10
CD = 20
3)
ΔBMK подобен ΔDFK по двум углам (углы при вершине К равны как вертикальные, ∠КВМ = ∠KDF как соответственные)⇒
DK / KB = FD / BM = 1/2