539. Найдите объёмы тел, изображенных на рисунке 33. ​

С чертежом нельзя :

 

Поскольку DC паралелльно АВ и лежит не в плоскости альфа, то она (DC) паралелльна плоскости альфа. Поэтому расстояние от плоскости альфа до любой точки этой прямой - величина постоянная. В том числе и расстояние от точек C и D, и по условию это a/2.

 

Двугранный угол рисовать я не буду, в плоскости ромба надо провести перпендикуляр из точки D на АС (пусть это будет DE), длинна этого перпендикуляра DE = a*sqrt(3)/2 (то есть сторона AD, умноженная на синус 60 градусов). Кроме того, если опустить перпендикуляр на плоскость альфа из точки D (пусть это будет DF), и провести плоскость через три точки D, E, F, то эта плоскость перпендикулярна прямой АВ (АБ перпендикулярна 2 прямым этой плоскости - DE и DF), и FED - как раз и есть двугранный угол. Треугольник FED прямоугольный, гипотенуза DE, катет DF = a/2. То есть, если DE умножить на синус двугранного угла, то получится a/2.

Отсюда синус это равен sqrt(3)/3.

Даны векторы а{1,-5,2} и б{3,1,2} найдите скалярное произведение векторов 2а+б и 3а-2б
Сложение векторов : a+b=(x1+x2;y1+y2;z1+z2).
Разность векторов : a-b=(x1-x2;y1-y2;z1-z2).
Умножение вектора на число: pa=(px1;py1;pz1), где p - любое число.
Тогда:
Вектор 2а{2;-10;4}, Вектор б{3,1,2} Вектор (2a+b){5;-9;6}
Вектор 3а{3;-15;6}, Вектор 2b{6;2;4}, Вектор(3а-2б){-3;-17;2}
Cкалярное произведение векторов: (a,b)=x1•x2+y1•y2+z1*z2.
Тогда (2а+б)*(3а-2б) = -18-34+8= - 44.
ответ: скалярное произведение векторов (2а+б)*(3а-2б) = -44.