57 Через точку пересечения биссектрис ДАВС проведена прямая, параллель-
ная прямой AC, пересекающая сторону
AB в точке М, а сто-
рону ВС в точке N.
Докажите, что
MN= AM + CN.
​

На большей стороне биссектриса прямого угла отсекает отрезок, равный боковой (меньшей) стороне.
Оставшийся отрезок большей стороны является стороной треугольника, в котором можно определить биссектрису, а два прилегающие к ней угла известны: 30° и 180-45 = 135°.
Биссектрису определим из площади: обозначим боковую сторону х.
Площадь 12,5 = (1/2)*х*х       х² = 25      х = 5.
Биссектриса будет равна 5√2.
По теореме синусов определяем отрезок большей стороны:
в = ((5√2)*sin 30) / sin(180-30-135) =  13.660254 см.
Тогда большая сторона равна 5 +  13.660254 =  18.660254 см.
Площадь прямоугольника равна 5* 18.660254 =  93.30127 см².

Дан треугольник АВС, СL  - биссектриса.
Точка К лежит на CL.
Сделаем рисунок.  
На стороне ВС отложим длину СМ=АС.
Соединим К и М. 
Треугольники АСК и МСК равны по двум сторонам и углу между ними. КМ=АК
По условию задачи ВС=АС+АК
Тогда КМ= ВМ,  и треугольник ВМК - равнобедренный. 
Угол КМС равен углу САК из доказанного выше равенства треугольников. 
Угол КМС - внешний угол при вершине М треугольника ВМК и равен сумме несмежных с ним внутренних углов. 
Так как углы КВМ и МКВ равны, ∠ КМС=2∠СВК, а значит, что и
 ∠САК равен 2∠СВК, что и требовалось доказать.