5А. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны, М — середина бокового ребра SD. Найдите углы между прямыми: а) AS и BD; б) АЅ и CD; в) SA и CM; г) SB и СМ.
У правильного треугольника все стороны равны Длина вписанной окружности в правильный треугольник R = 2 * π * r1, где r1 - радиус вписанной окружности r1 = R / 2π = 9 / 2π (м)
радиус вписанной окружности в правильный треугольник r1 = a / 2√3 , где а - сторона треугольника a / 2√3 = 9 / 2π a= 9√3 / π (м)
Радиус r2 окружности, описанной около правильного треугольника:
r2 = a / √3 r2 = 9√3 / (π*√3) = 9/π (м)
Площадь окружности, описанной около правильного треугольника: S = π* (r2)² S = π * (9/π)² = π* (81/π²) = 81 / π ≈ 25,8 м²
Длина вписанной окружности в правильный треугольник R = 2 * π * r1, где r1 - радиус вписанной окружности
r1 = R / 2π = 9 / 2π (м)
радиус вписанной окружности в правильный треугольник
r1 = a / 2√3 , где а - сторона треугольника
a / 2√3 = 9 / 2π
a= 9√3 / π (м)
Радиус r2 окружности, описанной около правильного треугольника:
r2 = a / √3
r2 = 9√3 / (π*√3) = 9/π (м)
Площадь окружности, описанной около правильного треугольника:
S = π* (r2)²
S = π * (9/π)² = π* (81/π²) = 81 / π ≈ 25,8 м²
Якщо до кола з однієї точки проведені дві дотичних, то довжини відрізків дотичних від цієї точки до точок дотику з окружністю рівні:
СА = СВ
Дотична перпендикулярна до радіуса кола, проведеного в точку дотику, значить ∠ОАС = ∠ОВС = 90°.
ΔОАС = ΔОВС за трьома сторонами (ОС - загальна, ОА = ОВ як радіуси, СА = СВ, як було з'ясовано вище.
Значить, ∠АОC = ∠ВОC = ∠BOA/2 = 120/2 = 60°.
З ΔОАС знайдемо ∠АСO = 180−60−90 = 30°.
Якщо катет лежить навпроти кута в 30°, він рівний половині гіпотенузи.
У нашому випадку, катет∠АO лежить навпроти кута ∠АСO в 30° ⇒
⇒ гіпотенуза OC = 2×AO = 2×12 = 24 см.
Відповідь: довжина відрізка СО рівна 24 см.