5А. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны, М — середина бокового ребра SD. Найдите углы между прямыми: а) AS и BD; б) АЅ и CD; в) SA и CM; г) SB и СМ.
Добрый день! Давайте решим поставленные задачи поочерёдно.
а) Найдем угол между прямыми AS и BD. Для этого рассмотрим треугольник ASD.
Так как пирамида является правильной, то угол ASD равен 90 градусам, и ребра SA и SD - равны. Также, так как M - середина ребра SD, то SM является медианой треугольника ASD.
Треугольник ASD равнобедренный (два угла при основании равны), следовательно, угол ASM равен углу ASD, то есть 90 градусам.
Теперь рассмотрим треугольник DSB. У него две стороны SB и SD равны, а угол SDB является прямым.
Таким образом, треугольник DSB также равнобедренный. Следовательно, угол SDB равен углу SBD.
Но мы знаем, что углы в треугольнике суммируются в 180 градусов. То есть угол SDB + угол SBD + угол ASD = 180 градусов.
Таким образом, угол между прямыми AS и BD равен 45 градусам.
б) Теперь найдем угол между прямыми АЅ и CD. Для этого построим точку L - середину отрезка AB.
Так как пирамида является правильной, то угол ABD равен углу LBC, а угол BAC равен углу BLC.
Кроме того, так как M - середина ребра SD, то угол AMB является прямым углом.
Таким образом, IM является медианой в треугольнике ALB.
Треугольник ALB равнобедренный (два угла при основании равны), следовательно, угол ILA равен углу ALB.
Заметим, что треугольники AIL и IBM являются подобными, так как угол AIL равен углу IBM (они являются соответственными углами в подобных треугольниках).
То есть, AI/IL = IB/BM.
Мы знаем, что AI = IM (так как AI является медианой в треугольнике ASD), поэтому IM/IL = IB/BM.
Так как IM и BM равны (они являются медианами треугольника ASD), то IL = IB.
То есть, у треугольника IBL две равные стороны IL и IB, и угол IBL равен углу ILB.
Из этого следует, что треугольник IBL является равнобедренным.
Таким образом, угол IBL равен углу LIB.
Так как треугольник IBL равнобедренный, то угол BIL равен углу LIB.
Из этого следует, что угол BIL равен углу IBL.
Заменим угол IBL на угол BIL, получим угол BIL + угол BIL + угол ALB = 180 градусов.
Угол ALB равен 90 градусам, поэтому 2 * угол BIL + 90 = 180.
Выразим угол BIL: 2 * угол BIL = 180 - 90.
2 * угол BIL = 90.
угол BIL = 90 / 2.
угол BIL = 45 градусов.
Таким образом, угол между прямыми АЅ и CD равен 45 градусам.
в) Воспользуемся результатами предыдущих пунктов. Из пункта а) мы знаем, что угол SBD равен 45 градусам.
Из пункта б) мы знаем, что угол BIL равен 45 градусам.
Так как SB и BI являются биссектрисами угла SBD, а SC и CM являются биссектрисами угла BIL, то угол SBI равен углу IBD и угол SBC равен углу ICB.
Таким образом, угол между прямыми SA и CM равен 45 градусам.
г) Заметим, что угол SBM является прямым углом, так как M является серединой ребра SD.
Также, угол SBA является прямым углом, так как пирамида SABCD является правильной.
Поэтому угол СBM является внешним углом треугольника BMS.
Из свойств внешних углов треугольника следует, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с данным внешним углом.
Таким образом, угол CBM равен сумме углов SBC и SBA.
Мы знаем, что угол SBC равен углу ICB (из пункта в)), и угол SBA равен углу IBD (из пункта в)).
Таким образом, угол между прямыми SB и СМ равен сумме углов ICB и IBD.
Угол ICB равен 45 градусам (из пункта в)).
Угол IBD также равен 45 градусам, так как SB и BI являются биссектрисами угла SBD (из пункта а)).
Таким образом, угол ICB + угол IBD = 45 + 45 = 90 градусов.
Таким образом, угол между прямыми SB и СМ равен 90 градусам.
Я надеюсь, что данное решение было понятным и подробным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, обращайтесь!
а) Найдем угол между прямыми AS и BD. Для этого рассмотрим треугольник ASD.
Так как пирамида является правильной, то угол ASD равен 90 градусам, и ребра SA и SD - равны. Также, так как M - середина ребра SD, то SM является медианой треугольника ASD.
Треугольник ASD равнобедренный (два угла при основании равны), следовательно, угол ASM равен углу ASD, то есть 90 градусам.
Теперь рассмотрим треугольник DSB. У него две стороны SB и SD равны, а угол SDB является прямым.
Таким образом, треугольник DSB также равнобедренный. Следовательно, угол SDB равен углу SBD.
Но мы знаем, что углы в треугольнике суммируются в 180 градусов. То есть угол SDB + угол SBD + угол ASD = 180 градусов.
Заменим угол SDB на угол SBD, получим угол SBD + угол SBD + угол ASD = 180 градусов.
Угол ASD равен 90 градусам, поэтому 2 * угол SBD + 90 = 180.
Выразим угол SBD: 2 * угол SBD = 180 - 90.
2 * угол SBD = 90.
угол SBD = 90 / 2.
угол SBD = 45 градусов.
Таким образом, угол между прямыми AS и BD равен 45 градусам.
б) Теперь найдем угол между прямыми АЅ и CD. Для этого построим точку L - середину отрезка AB.
Так как пирамида является правильной, то угол ABD равен углу LBC, а угол BAC равен углу BLC.
Кроме того, так как M - середина ребра SD, то угол AMB является прямым углом.
Таким образом, IM является медианой в треугольнике ALB.
Треугольник ALB равнобедренный (два угла при основании равны), следовательно, угол ILA равен углу ALB.
Заметим, что треугольники AIL и IBM являются подобными, так как угол AIL равен углу IBM (они являются соответственными углами в подобных треугольниках).
То есть, AI/IL = IB/BM.
Мы знаем, что AI = IM (так как AI является медианой в треугольнике ASD), поэтому IM/IL = IB/BM.
Так как IM и BM равны (они являются медианами треугольника ASD), то IL = IB.
То есть, у треугольника IBL две равные стороны IL и IB, и угол IBL равен углу ILB.
Из этого следует, что треугольник IBL является равнобедренным.
Таким образом, угол IBL равен углу LIB.
Так как треугольник IBL равнобедренный, то угол BIL равен углу LIB.
Из этого следует, что угол BIL равен углу IBL.
Заменим угол IBL на угол BIL, получим угол BIL + угол BIL + угол ALB = 180 градусов.
Угол ALB равен 90 градусам, поэтому 2 * угол BIL + 90 = 180.
Выразим угол BIL: 2 * угол BIL = 180 - 90.
2 * угол BIL = 90.
угол BIL = 90 / 2.
угол BIL = 45 градусов.
Таким образом, угол между прямыми АЅ и CD равен 45 градусам.
в) Воспользуемся результатами предыдущих пунктов. Из пункта а) мы знаем, что угол SBD равен 45 градусам.
Из пункта б) мы знаем, что угол BIL равен 45 градусам.
Так как SB и BI являются биссектрисами угла SBD, а SC и CM являются биссектрисами угла BIL, то угол SBI равен углу IBD и угол SBC равен углу ICB.
Таким образом, угол между прямыми SA и CM равен 45 градусам.
г) Заметим, что угол SBM является прямым углом, так как M является серединой ребра SD.
Также, угол SBA является прямым углом, так как пирамида SABCD является правильной.
Поэтому угол СBM является внешним углом треугольника BMS.
Из свойств внешних углов треугольника следует, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с данным внешним углом.
Таким образом, угол CBM равен сумме углов SBC и SBA.
Мы знаем, что угол SBC равен углу ICB (из пункта в)), и угол SBA равен углу IBD (из пункта в)).
Таким образом, угол между прямыми SB и СМ равен сумме углов ICB и IBD.
Угол ICB равен 45 градусам (из пункта в)).
Угол IBD также равен 45 градусам, так как SB и BI являются биссектрисами угла SBD (из пункта а)).
Таким образом, угол ICB + угол IBD = 45 + 45 = 90 градусов.
Таким образом, угол между прямыми SB и СМ равен 90 градусам.
Я надеюсь, что данное решение было понятным и подробным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, обращайтесь!