60 б! на одній стороні кута з вершиною в точці о позначено точки а і в, а на другій – точки с і d так, що оа = ос, ав = сd, точка а належить відрізку ов, точка с – відрізку оd. доведіть, що промінь ом є бісектрисою кута воd, де м – точка перетину прямих аd і вс.

Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ.
Так как этот угол смежный с углом АВС,

он равен 60°, а угол ОВЕ=30°. 

По свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.
Тогда длина стороны АВ на 3√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то
ВЕ=3√3
Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3
Радиус ОЕ:ВЕ=R:3√3
R:3√3 = 1/√3
R=3√3 ·1/√3=3

Треугольник АВС и треугольник А1В1С1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отрываем треугольник АВС. Точку А совмещаем с точкой А1. Луч АС совмещаем с лучом А1С1. Но отрезок АС равен отрезку А1С1. А на данной полупрямой от её начала можно отложить только один отрезок данной линейной меры, значит, точка С совпадет с точкой С1. Но угол А равен углу А1, а от данной полупрямой в данной полуплоскости можно отложить только один угол данной градусной меры, значит  луч АВ пойдёт по лучу А1В1. Но угол С равен углу С1, а от данной полупрямой в данной полуплоскости можно отложить только один угол данной градусной меры, значит луч ВС пойдёт по  лучу В1С1. А две прямые пересекаются только в одной точке. Лучи АВ и ВС и лучи А1В1 и В1С1 пресекутся в одной точке. Треугольники совпали всеми своими точками. Значит они равны. Теорема доказана.