60. Знайдіть величину кожного з кутів, які утворюються при перетині двох прямих, якщо: 1) сума двох з них дорівнює 96°; 2) рiзниця двох з них дорівнює 62°; 3) усі кути рiвнi мiж собою; 4) сума трьох з них дорівнює 294°.
Получается 4 равных треугольника. Найдем углы одного, такие же углы будет и у лстальных. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то есть угол 1 треугольника.= 90 град. острый угол ромба равен 30 по условию, значит другой (тупой) = 150 град. так как сумма внутренних углов при параллельных прямых и секущейся равна 180 град (180-30)=150. Диагонали ромба есть и биссектрисами углов, то есть 30/2 = 15, 150/2 = 72. Итак, углы одного треугольника равны 90, 75,15 градусов. В остальных точно такие же.
Треугольник АВС - равнобедренный. АС=АВ=а, угол при вершине равен 2β ( всместо буквы фи) Тогда углы при основании этого треугольника ∠ В= ∠ АСВ= (180°-2β)/2=90°-β И значит ∠ D= 90°-β Найдем площадь треугольника АВС S(Δ ABC)= (1/2)·AC·AB·sin 2β=(a²/2)·sin2β S(осн)=2·S(ΔABC) так как Δ АВС= ΔADC S(осн)=2·(a²/2)·sin2β=a²·sin2β С другой стороны площадь основания равна произведению стороны на высоту, проведенную к стороне. S(осн)=DC·AK ⇒ Площадь параллелограмма также равна произведению сторон на синус унла между ними S(осн)=AD·DC ·sin∠ D ⇒ Найдем АТ, зная, что площадь основания равна произведению стороны на высоту, проведенную к стороне. S(осн)=ВC·AТ ⇒
Рассмотрим треугольник МAТ: MA=AT·sinβ=acosβ·sinβ Боковая поверхность 1) S(ΔМАВ)=(1/2)MA·AB=(1/2)·a²·cosβ·sinβ 2) S(ΔМАD)=(1/2)MA·AD=(1/2)·a·cosβ·sinβ·2a·sinβ
Из треугольника МАК найдем апофему МК по теореме Пифагора МК²=MA²+AK²=(acosβ·sinβ)²+(asin2β)²=a²cos²βsin²β+4a²cos²βsin²β=(разложили sin2β=2sinβcosβ)=5a²sin²βcos²β MK=a√5sinβcosβ 3) S(ΔМDC)=(1/2)DC·MK=(1/2)·a²√5sinβcosβ
Из треугольника МАТ найдем апофему МТ по теореме Пифагора МТ²=MA²+AТ²=(acosβ·sinβ)²+(acosβ)²=a²cos²βsin²β+a²cos²β=a²cos²β(1+cos²β) MT=acosβ√(1+cos²β) 4) S(ΔМBC)=(1/2)BC·MТ=(1/2) AD·MT= (1/2)·a²·sinβ·cos²β·√(1+cos²β)
Осталось сложить ответы п. 1)-4) и получим боковую поверхность Если прибавим площадь основания, то получим полную поверхность
острый угол ромба равен 30 по условию, значит другой (тупой) = 150 град. так как сумма внутренних углов при параллельных прямых и секущейся равна 180 град (180-30)=150.
Диагонали ромба есть и биссектрисами углов, то есть 30/2 = 15, 150/2 = 72.
Итак, углы одного треугольника равны 90, 75,15 градусов. В остальных точно такие же.
Тогда углы при основании этого треугольника
∠ В= ∠ АСВ= (180°-2β)/2=90°-β
И значит
∠ D= 90°-β
Найдем площадь треугольника АВС
S(Δ ABC)= (1/2)·AC·AB·sin 2β=(a²/2)·sin2β
S(осн)=2·S(ΔABC) так как Δ АВС= ΔADC
S(осн)=2·(a²/2)·sin2β=a²·sin2β
С другой стороны площадь основания равна произведению стороны на высоту, проведенную к стороне.
S(осн)=DC·AK ⇒
Площадь параллелограмма также равна произведению сторон на синус унла между ними
S(осн)=AD·DC ·sin∠ D ⇒
Найдем АТ, зная, что площадь основания равна произведению стороны на высоту, проведенную к стороне.
S(осн)=ВC·AТ ⇒
Рассмотрим треугольник МAТ:
MA=AT·sinβ=acosβ·sinβ
Боковая поверхность
1) S(ΔМАВ)=(1/2)MA·AB=(1/2)·a²·cosβ·sinβ
2) S(ΔМАD)=(1/2)MA·AD=(1/2)·a·cosβ·sinβ·2a·sinβ
Из треугольника МАК найдем апофему МК по теореме Пифагора
МК²=MA²+AK²=(acosβ·sinβ)²+(asin2β)²=a²cos²βsin²β+4a²cos²βsin²β=(разложили sin2β=2sinβcosβ)=5a²sin²βcos²β
MK=a√5sinβcosβ
3) S(ΔМDC)=(1/2)DC·MK=(1/2)·a²√5sinβcosβ
Из треугольника МАТ найдем апофему МТ по теореме Пифагора
МТ²=MA²+AТ²=(acosβ·sinβ)²+(acosβ)²=a²cos²βsin²β+a²cos²β=a²cos²β(1+cos²β)
MT=acosβ√(1+cos²β)
4) S(ΔМBC)=(1/2)BC·MТ=(1/2) AD·MT= (1/2)·a²·sinβ·cos²β·√(1+cos²β)
Осталось сложить ответы п. 1)-4) и получим боковую поверхность
Если прибавим площадь основания, то получим полную поверхность