65) Периметр равнобедренного треуголь- ника равен 32 см. Биссектриса, прове- денная из его вершины, делит его на два треугольника, периметр каждого из которых равен 24 см. Найдите длину этой биссектрисы. ответ:

1) центр вписанной окружность находится на пересечении бисектрис углов этой фигуры. Если это треугольник, достаточно провести 2 бисектрисы. Отмеряем радиус окружности так, чтобы круг соприкасался с одной из сторон фигуры.
2) Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров ( высот) треугольника. Отмеряем радиус окружности так, чтобы окружность проходила через ВСЕ точки треугольника.
3) Да, центр вписанной окружности может проходить за пределами треугольника, если треугольник имеет тупой угол ( больше 90 градусов)

1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, значит

ВА = ВС.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

ОА⊥ВА и ОС⊥ВС.

ΔОВА = ΔОВС по гипотенузе и катету (ВО - общая, ВА = ВС), значит ВО - биссектриса угла АВС.

∠ОВА = 1/2∠АВС = 30°, тогда в прямоугольном треугольнике ОВА против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:

ОА = 1/2 ОВ = 1/2 · 28 = 14

2. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Значит ΔАОВ прямоугольный и равнобедренный (АВ = ОА = 2 см). По теореме Пифагора:

ОВ = √(АВ² + ОА²) = √(4 + 4) = 2√2 см