7(4). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка K – се- редина ребра AD, точка М середина ребра AB, а точка N середина ребра BC. Точки P, Q, R лежат на отрезках SK, SM и SN соответствен- но, причем SP:PK = 2:1, SQ:OM =4:7, a R середина отрезка SN. В каком отношении плоскость POR делит ребра пирамиды, которые она пересекает?

Обозначим треугольник АВС с углом А = 120°.
По свойству биссектрисы стороны АВ = 21*к, АС = 35*к.
По теореме косинусов АВ² + АС² -2*АB*АС*cos A = BC².
(21k)² + (35k)²-2*(21k)*(35k) = 56².
441k² + 1225k² - (-735k²) =  3136.
2401k² = 3136
k² =  1.306122
k = √ 1.306122 = 1.142857.
Теперь находим стороны АВ и АС:
АВ = 21* 1.142857 = 24 см,
АС = 35* 1.142857 = 40 см.
Высота треугольника АВС равна^
 H = АВ*sin(180-120) =24*(√3/2) = 12√3.
Площадь треугольника АВС = (1/2)Н*АС = (1/2)*12√3*40 =
= 240√3 =  415.6922 см².

Проще всего оказалось решить эту задачу методом треугольников по Герону.
По построению найдены координаты точек пересечения рёбер СС1 и ДД1 (для упрощения длина ребра взята равной 1).
Координаты точки А:   ax     ay      az
                                          1      0        0.
Координаты точки К:    bx     by     bz
                                          0     0.5     0.
Координаты точки С2:  cx   cy     cz
                                          0     1      0.3333.
Находим длины сторон:     АК                   КС2               АС2
                                        1.118034      0.6009252       1.45297.
Здесь сторона АС2 является диагональю четырёхугольника, получившегося в сечении.
Отсюда находим площадь треугольника АКС2:
Периметр равен Р = 3.1719255,
полупериметр равен Р/2 = 1.58596.
S AKC2= 0.3118048.
Теперь переходим ко второму треугольнику АС2Д2:
Координаты точки А:   ax     ay      az 
                                          1      0        0.
Координаты точки С2:  cx      cy        cz 
                                          0        1      0.3333.
Координаты точки Д2:  cx      cy       cz
                                           1       1      0.6667.
Длины сторон равны:  АС2               С2Д2                АД2
                                 1.4529663       1.0540926         1.20185.
Периметр равен Р =  3.7089093,
полупериметр равен Р/2 = 1.85445.
S AС2Д2 = 0.6236096.
Сумма площадей треугольников равна площади искомого сечения:
S AКС2Д2= 0.3118048 + 0.6236096 =  0.935414364а².