74
точка n лежит на отрезке мр. расстояние между точками
m и рpaвнo 24 см, а расстояние между точками n и м в два
раза больше расстояния между точками n и p. найдите рас-
стояние:
а) между точками n и p;
б) между точками n и м.​

1) Признаки квадрата: стороны и диагонали равны.
Расстояние между точками: d = √((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).
Пусть квадрат АВСД.
   АВ          ВС         СД          АД
2.2361     2.2361    2.2361    2.2361. Стороны равны.
   АС         ВД
2.8284     3.4641. Диагонали не равны, АВСД - не квадрат.

2) Пусть имеем треугольник АВС, гипотенуза АС.
Гипотенуза АС равна √(6²+8²) = √(36-64) = √100 = 10 см.
Высота h на гипотенузу равна: h = 2S/10 = (2*(1/2)*6*8)/10 = 4,8 см.
Расстояние L от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол в 45 градусов с плоскостью треугольника, это катет прямоугольного равнобедренного треугольника, у которого высота h является гипотенузой.
L = h*sin 45° = 4,8*(√2/2) = 2,4√2 ≈  3,394113 см.

Для доказательства используем теорему о трилистнике, которая гласит, что если биссектриса угла А треугольника АВС пересекает окружность в точке Y и точка I - центр вписанной в ΔАВС окружности, то YB=YI=YC. 

Обозначим углы ВАI и САI как α, а углы АВI и СВI как β.
Вписанные углы YAС и YBС равны α т.к. опираются на одну дугу.
∠BIY - внешний треугольника АВI, значит ∠BIY=∠ВAI+∠АВI=α+β.
В треугольнике ВYI ∠YВI=∠BIY=α+β, значит он равнобедренный. YB=YI.
∠ВYX=∠AYX так как они опираются на равные дуги ВХ и АХ, значит YX - биссектриса равнобедренного тр-ка ВYI, значит YX⊥BI и BO=OI.
Треугольники КВО и LBO равны так как ВО - общая сторона и прилежащие к ней углы β и 90° равны, значит КО=ОL.

В четырёхугольнике ВKIL диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, значит ВKIL - ромб.
Доказано.