1) Доказательством, что четырехугольник ABCD - параллелограмм, служит наличие параллельности противоположных сторон. То есть, надо составить уравнения сторон его и, если условие параллельности двух прямых в пространстве выполняется, то стороны параллельны. Условие: где m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой. Дано A(-4;0;2), B(-1;-2;-3), C(3;-2;-6), D(0;0;-1). х у z Вектор СД: -3 2 5. Отношение (-3/3)=2/(-2)=5/(-5) = -1. Это означает, что прямые равны и параллельны, но направлены в разные стороны. Это так и есть - направления АВ и СД отличаются на 180 градусов. Аналогично доказывается равенство и параллельность сторон ВС и АД.
2) Точка С симметрична точке А относительно средней точки М. Хс = 2Хм-Ха = 2*(-1)-(-2) = -2+2 = 0, Ус = 2Ум-Уа = 2*(-2)-(-9) = -4+9 = 5, Zc = 2Zm-Za = 2*(-3)-0 = -6.
Каждая из сторон полученного четырёхугольника является средней линией в соответствующем треугольнике в котором основание - это диагональ параллелограмма, а боковые стороны - это стороны параллелограмма, значит стороны четырёхугольника равны половинам соответствующих диагоналей исходного параллелограмма. Так как противолежащие стороны четырёхугольника попарно параллельны диагоналям параллелограмма, то противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, значит он параллелограмм со сторонами d₁/2 и d₂/2. Углы между соответственно параллельными прямыми равны, значит угол между диагоналями исходного параллелограмма равен углу между сторонами полученного параллелограмма. Площадь исходного параллелограмма через его диагонали: S=(1/2)d₁d₂·sinα. Площадь полученного параллелограмма через его стороны: s=ab·sinα=(d₁d₂/4)·sinα=S/2=16/2=8 см² - это ответ.
То есть, надо составить уравнения сторон его и, если условие параллельности двух прямых в пространстве выполняется, то стороны параллельны.
Условие:
где m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.
Дано A(-4;0;2), B(-1;-2;-3), C(3;-2;-6), D(0;0;-1).
х у z
Вектор СД: -3 2 5.
Отношение (-3/3)=2/(-2)=5/(-5) = -1.
Это означает, что прямые равны и параллельны, но направлены в разные стороны. Это так и есть - направления АВ и СД отличаются на 180 градусов.
Аналогично доказывается равенство и параллельность сторон ВС и АД.
2) Точка С симметрична точке А относительно средней точки М.
Хс = 2Хм-Ха = 2*(-1)-(-2) = -2+2 = 0,
Ус = 2Ум-Уа = 2*(-2)-(-9) = -4+9 = 5,
Zc = 2Zm-Za = 2*(-3)-0 = -6.
Так как противолежащие стороны четырёхугольника попарно параллельны диагоналям параллелограмма, то противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, значит он параллелограмм со сторонами d₁/2 и d₂/2.
Углы между соответственно параллельными прямыми равны, значит угол между диагоналями исходного параллелограмма равен углу между сторонами полученного параллелограмма.
Площадь исходного параллелограмма через его диагонали: S=(1/2)d₁d₂·sinα.
Площадь полученного параллелограмма через его стороны: s=ab·sinα=(d₁d₂/4)·sinα=S/2=16/2=8 см² - это ответ.