8. Как, используя свойство средней линии треугольника, провести через пункт С дорогу, параллельную дороге, соединяющей пункты А и В (рис. 8.7)?

1)На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что АО : ОС = ВО : OD. б) Найдите АВ, если OD = 15 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.

ответ или *решение1*

Дано:

АВ||CD

OD=15 см

ОВ=9 см

CD=25 см.

Доказать:

АО:ОС=ВО:OD

Найти:

АВ=?

Сначала докажем подобие треугольника: в АВО и DCO.

∠AOB=∠DOC как вертикальные.

∠СDO=∠ABO и ∠DCO=∠BAO как накрест лежащие.

Следовательно, ΔАОВ подобен ΔDOC (по трем углам).

Тогда, соответствующие стороны пропорциональны.

АО/ОС=ВО/OD

ЧТД

АВ/DC=ОВ/ОD

АВ=ОВ/ОD*DC=9/15*25=9*5/3=15 см

АВ=15 см.

ответ: АВ=15 см.

2)

Найдите отношение площадей треугольников ABC,KMN,если АВ = 8см, ВС= 12см,АС= 16 см,КМ=10см,MN=15см,NK=20см

ответ или решение1

Калашников Глеб

Дано: треугольники АВС и KMN,

АВ = 8 см,

ВС= 12см,

АС= 16 см,

КМ = 10 см,

MN =15 см,

NK = 20 см.

Найти: отношение площадей треугольников ABC,KMN - ?

Решение: Расматриваем треугольники АВС и KMN. Найдем отношения: АВ/КМ = 8 см/10 см= 4/5, ВС/MN = 12 см/15 см = 4/5, АС/NK = 16 см/20 см = 4/5. Следовательно реугольники АВС и KMN подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам). Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате. Тогда Sавс/Sкмn = (4/5) в квадрате = 16/25.

ответ: 16/25.

3)Треугольники АВС и MBN подобны по двум углам

(угол В- общий; Угол ВМN  равен углу ВАС как соответственные при МN||АС и секущей АВ)

Треугольники подобны⇒сходственные стороны пропорциональны

АВ/ВМ=СВ/ВN ⇒AB•BN = СВ•ВМ

Б) АВ=АМ+МВ=6+8=14

МN/АС= ВМ/АВ; МN/21=8/14,  МN=21·8/14=12 (см)

ответ МN=12см

2. Треугольники  PQR  и АВС подобны, т.к. стороны пропорциональны :

16/12=20/15=28/21=4/3

Площади подобных тругольников относятся как квадрат коэффициента подобия, т.е. как (4/3)²=16/9

площадь треугольника PQR относится к площади треугольника ABC

как 16 : 9

4)Видим, что треугольники подобны:

АВ/PQ = BC/QR = AC/PR = 3/4

Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть 9/16.

ответ: 9/16.

Проверим результат, найдя площади каждого из тр-ов.

Найдем площади по формуле Герона:

Для тр АВС: р = (12+15+21)/2 = 24

Для тр PQR: p = (20+28+16)/2 = 32

Теперь находим отношение площадей:

ответ: 9/16.

1) Объём конуса V = (1/3)π*R²*h, где R и h - радиус основания и высота конуса.  

По теореме Пифагора, R² + h²=L², откуда R² = (L²- h²) м².  

Тогда V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.  

Производная V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²).  

Приравнивая её к нулю, приходим к уравнению (π/3)*( L² - 3h²) = 0.  

Нулю приравниваем второе выражение в скобках.

Отсюда находим h = √(( L²)/3) = L/√3 = 28,2/√3  ≈ 16,28128 см.

Так как значение h положительно, то найденная точка h= (L/√3)  является точкой максимума функции V(h).

Подставим значение h= (L/√3) в уравнение объёма:

V = (π/3)*( L²*(L/√3) - (L/√3)³) = (2πL3)/(9√3).

Значение Vmax = (2π*28,23)/(9/√3) ≈ 9039,0764  cм³.  

ответ: 9039,0764  cм³.

2) Площадь бака S = πR² + 2 πRh.

Выразим h через объём: V= πR²h, откуда h = V/πR².

Заменим h в формуле площади:  

S = πR² + 2πR(V/πR²) = πR² + (2V/R).

Находим производную функции площади по R²:

S’ = 2πR - (2V/R2) и приравниваем нулю.

2πR + (2V/R2) = 0, откуда находим  R = ³√(V/π) = ³√(17,576π/π) = 2,6 см.

ответ: S = (π*2,62) + (2*17,576π/2,6) = 63,7115 кв.ед.