8. Відрізки АМ і ВК— перпендикулярні до прямої МК, а відрізок АВ перетинає пряму МК у точці О. Доведіть, що ку
трикутник АОМ = трикутнику ВОК, якщо
AM = ВК.
​

В пирамиде ЕАВС боковые рёбра равны 7√2.
В прямоугольном равнобедренном тр-ке ЕВА высота ЕК=ЕА/√2=7.
АВ=ЕА·√2=14.
В правильном тр-ке АВС высота СК=АВ√3,2=14√3/2=7√3.
В тр-ке ЕСК проведём высоту КМ.
Пусть ЕМ=х, тогда СМ=ЕС+ЕМ=7√2+х.
Из прямоугольных тр-ков EKM и СКМ катет КМ можно найти по т. Пифагора двумя
КМ²=ЕК²-ЕМ²=СК²-СМ²,
49-х²=147-(7√2+х)²,
49-х²=147-98-14√2х-х²,
14√2х=0,
х=0.
Вывод: отрезок ЕМ=0, значит ЕК⊥ЕС, значит искомое расстояние между скрещивающимися рёбрами ЕС и АВ равно ЕК=7 - это ответ.

PS. Здесь я рассмотрел общий нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми без проверки треугольника ЕСК на прямоугольность. Это можно было сделать сразу, перед построением высоты КМ, тогда решение будет гораздо короче и без длинных расчётов. Но такое везение бывает очень редко ;)

PPS Высоту КМ можно построить и внутри треугольника ЕСК, тогда ЕМ=х, СМ=7√2-х, но на результат это всё-равно не повлияет. Просто если треугольник тупоугольный с тупым углом КЕС (но мы пока не знаем об этом) и если построить высоту КМ внутри треугольника, то отрезок EM окажется отрицательным, что подскажет нам, что треугольник тупоугольный.

По горизонтали: 1. Луч, делящий угол пополам. 4. Элемент треугольника. 5.6.7. Виды треугольника (по углам). 11. Математик древности. 12. Часть прямой. 15. Сторона прямоугольного треугольника. 16. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.По вертикали: 2. Вершина треугольника. 3. Фигура в геометрии. 8. Элемент треугольника. 9. Вид треугольника (по сторонам). 10. Отрезок в треугольнике. 13. Треугольник, у которого две стороны равны. 14. Сторона прямоугольного треугольника. 17. Элемент треугольника.