;-;
9.1 Подобные треугольники
Найти: x, y, z
Решить только нужно...
Заранее

Пусть АО - перпендикуляр к плоскости α. Значит АО - искомое расстояние.

Тогда ВО и СО - проекции наклонных АВ и АС на плоскость.

19 > 2√70, а большей наклонной соответствует большая проекция, если наклонные проведены из одной точки.

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда ОС = 5х, ОВ = 4х.

Из прямоугольных треугольников АОВ и АОС выразим АО по теореме Пифагора:

АО² = АВ² - ВО² = 280 - 16х²

АО² = АС² - СО² = 361 - 25х²

280 - 16x² = 361 - 25x²

9x² = 81

x² = 9

x = 3     (x = - 3 не подходит по смыслу задачи)

АО² = 280 - 16 · 3² = 280 - 144 = 136

АО = √136 = 2√34 см

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Меньшую из сторон параллелограмма найдём по теореме косинусов из треугольника со сторонами 5, 6 и углом меж ними 60°
a² = 5²+6²-2*5*6*cos(60°) = 25+36-60*1/2 = 25+36-30 = 25+6 = 31 
a = √31 см
Большую сторону найдём из тупоугольного треугольника со сторонами 5,6 и углом меж ними 180-60 = 120
b² = 5²+6²-2*5*6*cos(120°) = 25+36-60*(-1/2) = 25+36+30 = 25+6 = 91 
b = √91 см

Большая диагональ, по теореме косинусов
d₁² = 5²+7²-2*5*7*cos(120°) = 25+49-70*(-1/2) = 74+35 = 109
d₁ = √109 см
Меньшая диагональ найдётся при угле меж сторонами 180-120 = 60°
d₂² = 5²+7²-2*5*7*cos(60°) = 25+49-70*1/2 = 74-35 = 39
d₂ = √39 см

методика такая
полупериметр
p = 1/2(a+b+c)
площадь по формуле Герона
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
и радиус описанной окружности по известным сторонам
S = abc/(4R)
R = abc/(4S)
а) 13, 14, 15;
p = 21
S = √ 7056 = 84
R = 13*14*15/(84*4) = 8,125 = 8 1/8
б) 15, 13, 4;
p = 16
S = √576 = 24
R = 15*13*4/(4*24) = 5*13/8 = 65/8 = 8,125
в) 35, 29, 8;
p = 36
S = √7056 = 84
R = 35*29*8/(4*84) = 35*29/42 = 5*29/6 = 145/6 = 24 1/6
г) 4, 5, 7.
p = 8
S = √96 = 4√6
R = 4*5*7/(16√6) = 5*7/(4√6)= 35/(4√6)