Если четырёхугольник можно вписать в окружность, значит в этом четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна 180° ⇒
⇒ угол, лежащий против угла в 120° равен 180° - 120° = 60° и угол, лежащий против угла в 150°, равен 180° - 150° = 30°
Так как вершины четырёхугольника лежат на окружности, его углы будут являться вписанными и отсюда, градусные меры дуг, на которые эти углы опираются, будут в два раза больше самих углов.
Находим, что углы в 60° и 30° четырёхугольника опираются на дуги в 120° и 60°
№2 (фото)
№3 ответ:4
№4ОЕ⊥СD⇒ ОЕ - радиус.
АВ⊥ВС и АD
Проведем OK⊥АВ
ОК=r
OH⊥AD
АН=ОК=OE=6
HD=ED=9
AD=AH+HD=15
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Трапеция - четырехугольник.
ВС+AD=AB+CD
Р=ВС+AD+AB+CD=2•(10+15)=50 см
——————————————————
4. На рис. 134 точка О – центр вписанной окружности, угол А=углу С, BD=18 см, BO:OD=5:4. Найдите стороны треугольника.
DO+ВО=9х ⇒
х=18:9=2
OD=8, ВО=10.
По условию углы при АС равны. ⇒ ∆ АВС - равнобедренный, АВ=ВС.
Центр вписанной в треугольник окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса равнобедренного треугольника - высота и медиана. ⇒
∠BDA=90°
AD=CD.
Проведем ОН - перпендикуляр в точку касания на АВ.
Из ∆ ВОН по т.Пифагора ВН=6
В прямоугольных ∆ АВD и ∆ OBH острый угол при В общий.⇒
∆ АВD~∆ OBH
Из подобия следует отношение
АВ:ВО=ВD:BH
AB•6=10•18⇒
AB=180:6=30
По т.Пифагора AD=24 ⇒
АС=48
ВС=АD=30
№5В чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.
Таким чином,
AB+CD= BC+AD;
10+7= 8+AD;
17=8+AD;
AD= 17-8;
AD= 9.
Відповідь: якщо AD=9 см, то в даний чотирикутник можна вписати коло.
№6если трапеция описана около окружности, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия равна полусумме оснований,тогда средняя линия = (5+7)/2=6
Даны векторы: MN (-1 0 8), ML (0 -3 7), MK (-6 4 0).
Объём пирамиды (тетраэдра) равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов (MNxML)*MK.
Найдём это произведение с применением схемы Саррюса.
-1 0 8| -1 0
0 -3 7| 0 -3
-6 4 0| -6 4 = 0 +0 + 0 - 0 -(-28) - 144 = -116.
V = (1/6)*|-116| = 116/6 = 58/3.
Находим векторы в плоскости MNK как разность векторов.
LN = ML – MN = (0-(-1); -3-0; 7-8) = (1; -3; -1).
LK = ML – MK = ((0-(-6); -3-4; 7-0) = (6; -7; 7).
Площадь треугольника NLK равна половине модуля векторного произведения векторов LN и LK.
i j k| i j
1 -3 -1| 1 -3
6 -7 7| 6 -7 = -21i – 6j – 7k – 7j – 7i + 18k = -28i – 13j + 11k.
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-28)² + (-13)² + 11²) = √(784 + 169 + 121) = √1074.
Найдем площадь треугольника:
S = (1/2) √1074 = √1074/2 ≈ 16,386.
Теперь можно найти высоту Н из вершины M на плоскость NLK по формуле:
H = 3V/S = (3*(58/3)/(√1074/2) = 116/√1074 = 58√1074/537 ≈ 3,54.
№1
Объяснение:
Если четырёхугольник можно вписать в окружность, значит в этом четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна 180° ⇒
⇒ угол, лежащий против угла в 120° равен 180° - 120° = 60° и угол, лежащий против угла в 150°, равен 180° - 150° = 30°
Так как вершины четырёхугольника лежат на окружности, его углы будут являться вписанными и отсюда, градусные меры дуг, на которые эти углы опираются, будут в два раза больше самих углов.
Находим, что углы в 60° и 30° четырёхугольника опираются на дуги в 120° и 60°
№2 (фото)
№3 ответ:4
№4ОЕ⊥СD⇒ ОЕ - радиус.
АВ⊥ВС и АD
Проведем OK⊥АВ
ОК=r
OH⊥AD
АН=ОК=OE=6
HD=ED=9
AD=AH+HD=15
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Трапеция - четырехугольник.
ВС+AD=AB+CD
Р=ВС+AD+AB+CD=2•(10+15)=50 см
——————————————————
4. На рис. 134 точка О – центр вписанной окружности, угол А=углу С, BD=18 см, BO:OD=5:4. Найдите стороны треугольника.
DO+ВО=9х ⇒
х=18:9=2
OD=8, ВО=10.
По условию углы при АС равны. ⇒ ∆ АВС - равнобедренный, АВ=ВС.
Центр вписанной в треугольник окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса равнобедренного треугольника - высота и медиана. ⇒
∠BDA=90°
AD=CD.
Проведем ОН - перпендикуляр в точку касания на АВ.
Из ∆ ВОН по т.Пифагора ВН=6
В прямоугольных ∆ АВD и ∆ OBH острый угол при В общий.⇒
∆ АВD~∆ OBH
Из подобия следует отношение
АВ:ВО=ВD:BH
AB•6=10•18⇒
AB=180:6=30
По т.Пифагора AD=24 ⇒
АС=48
ВС=АD=30
№5В чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.
Таким чином,
AB+CD= BC+AD;
10+7= 8+AD;
17=8+AD;
AD= 17-8;
AD= 9.
Відповідь: якщо AD=9 см, то в даний чотирикутник можна вписати коло.
№6если трапеция описана около окружности, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия равна полусумме оснований,тогда средняя линия = (5+7)/2=6