98 . 1. гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25см, один из острых углов равен 45°. найдите катеты этого треугольника, площадь и периметр. 2. найдите углы прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 7 см, а один из катетов 3.5√3 см. 4 найдите sin, cos, tg острого угла ромба, если его периметр равен 52 см, а площадь -120 см²
Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С = 0, то уравнение перпендикулярной прямой: А(у - у₁) - В(х - х₁) = 0.
Подставляем известные данные: точка А(5;-4) и прямая - диагональ ВД: х - 7у - 8 = 0.
Уравнение диагонали АС: 1*(у - (-4)) - (-7)*(х - 5) = 0.
у + 4 + 7х - 35 = 0,
АС: 7х + у - 31 = 0.
Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом:
у = -7х + 31.
В уравнении типа у = кх + в коэффициент к - это тангенс угла наклона прямой к оси "х".
Стороны квадрата проходят под углом +45° и -45° к диагонали.
Используем формулу тангенса суммы (разности) углов:
Используя к = -7 для АС, находим "к" для сторон АВ и АД:
Теперь переходим к уравнениям сторон.
У параллельных прямых коэффициент к одинаков.
Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД.
Алгоритм решения :
1) Находим прямую (диагональ АС), которая перпендикулярна прямой ВД.
2) Находим точку К пересечения прямых - это будет центр квадрата.
3) Точка К является серединой отрезка АС. Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим точку С.
1) Уравнение АС найдено.
2) ВД: х - 7у - 8 = 0 -7х + 49у + 56 = 0
АС: 7х + у - 31 = 0 7х + у - 31 = 0
--------------------------
50у + 25 = 0
у = -25 / 50 = -1/2.
х = 7у + 8 = 7*(-1/2) + 8 = -3,5 + 8 = 4,5.
Получили координаты точки К(4,5; -0,5).
3) Хс = 2Хк - Ха = 2*4,5 - 5 = 9 - 5 = 4.
Ус = 2Ук - Уа = 2*(-0,5) - (-4) = -1 + 4 = 3.
Уравнения сторон:
АВ: -4 = (-3/4)*5 + в в = -4 + (15/4) = (-16/4) + (15/4) = -1/4.
АВ: у = (-3/4)х - (1/4).
СД: 3 = (-3/4)*4 + в в = 3 + (12/4) = 3 + 3 = 6.
СД: у = (-3/4)х + 6.
АД: -4 = (4/3)*5 + в в = -4 - (20/3) = (-12/3) - (20/3) = -32/3
АД: у = (4/3)х - (32/3).
ВС: 3 = (4/3)*4 + в в= 3 - (6/3) = (9 - 16)/3 = -7/3.
ВС: у = (4/3)х - (7/3).
Находим:
- высоту пирамиды: Н = 10*cos 30° = 10*(√3/2) = 5√3 см.
- половину диагонали основания: ОС = 10*sin 30° = 10*0.5 = 5 см.
Для нахождения двугранного угла найдём перпендикуляр из центра основания на ребро основания:
ОК = ОС*cos 45° = 5*(√2 / 2) = 5√2 / 2.
Отсюда тангенс двугранного угла при основании равен:
tg α = H / OK = 5√3 / (5√2 / 2) = 2√3 / √2 = 2.44949.
а угол равен: α = arc tg 2.44949 = 1.1832 радиан = 67.79235°.