A(-4;2) B(2;-5) C(5;0) Найти: 1. уравнения сторон треугольника АВ, АС и ВС;
2. уравнение медианы ВМ;
3. уравнение высоты ВН;
4. уравнение биссектрисы ВF;
5. уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно АС;
6. точку пересечения медианы CN и высоты ВН;
7. угол между сторонами АВ и AС;
8. длину высоты ВН; длину медианы ВМ; длину биссектрисы ВF;
9. площадь треугольника

 Дано:                                          Решение.                                        
a = 2x см
b = 3x см                              P = a + b + c = 54  =>  2x + 3x + 4x = 54
c = 4x см                                                                                9x = 54 
Р = 54 см                                                                            x = 6 (см)
                    Тогда: a = 2x = 12 (см)     
Найти: a=?,b=?,c=?                           b = 3x = 18 (см)
                                                           c = 4x = 24 (см)

ответ: 12 см, 18 см, 24 см.

Пусть две стороны треугольника равны a и b, а медиана проведена к третьей стороне, которая равна с. Длина медианы пусть равна m. Тогда если продолжить медиану на ее длину, и достроить до параллелограмма, то верно неравенство треугольника:
a+b>2m. Отсюда первое условие.
Для второго, исходный треугольник разбит медианой на 2 треугольника. Для каждого из них неравенство треугольника можно записать так:
m+c/2>a
m+c/2>b
Складывая эти неравенства и перенося с, получим 2m>a+b-c, что и требовалось.