1. Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, КТ=14 дм, МР=8 дм. МН - высота, МН=4 дм. Найти КМ.
Решение: проведем высоту РС.
МР=СН=8 дм.
ΔКМН=ΔРСТ по катету и гипотенузе, КН=СТ=(14-8):2=3 дм.
Рассмотрим ΔКМН - прямоугольный, КН=3 дм, МН=4 дм, значит КМ=5 дм (египетский треугольник).
ответ: 5 дм.
2. Дано: КМСТ - прямоугольник, Р=56 см, КТ-МК=4 см. Найти МТ.
Решение: МК+КТ=56:2=28 см. Пусть КТ=х см, тогда МК=х-4 см.
Составим уравнение: х+х-4=28; 2х=32; х=16.
КТ=16 см; МК=16-4=12 см. Тогда по теореме Пифагора
МТ=√(16²+12²)=√(256+144)=√400=20 см.
(или просто: МТ=20 см, т.к. МК:КТ=12:16=3:4; МКТ - египетский треугольник)
ответ: 20 см.
7) Примем диагональ d и высоту H, равные 2.
Тогда тангенс угла β наклона бокового ребра равен:
tg β = H/(d/2) = 2/1 = 2.
значит, β = arctg 2.
ответ В.
Тангенс наклона апофемы A равен: tg(A) = H/(1/√2) = 2√2.
ответ Г.
В треугольнике ASC боковые рёбра угол S делится высотой пополам.
Тогда угол ASC = 2arctg(1/2).
ответ Д.
8) Примем коэффициент пропорциональности длин сторон основания за к.
Полупериметр р = к(17+10+9)/2 = 18к.
Площадь боковой поверхности Sбок = PL = (2*18k)*16 = 36k*16.
Площадь основания по Герону:
So = √(18k*1k*8k*9k) = 36k².
Приравняем полную поверхность:
1440 = 2*36k² + 36k*16, после сокращения на 72 получаем:
k² + 8k – 20 = 0. D = 64 +4*20 = 144.
k1 = (-8 + 12)/2 = -10, не принимаем.
k2 = (-8 + 12)/2 = 2.
Находит площадь боковой поверхности Sбок = 36*2*16 = 1152 см².
ответ: Sбок = 1152 см².
9) Находим площади граней пирамиды.
p(ABC) = (13+14+15)/2 = 21 см. S(ABC) = √(21*8*7*6) = 84 см².
S(DAC) = (1/2)*9*13 = (117) см².
S(DAB) = (1/2)*9*15 = (135/2) см².
Находим высоту боковой грани BDC путём пересечения вертикальной плоскостью.
Сначала находим высоту основания из точки А.
h(A) = 2S/BC = 2*84/14 = 12 см.
Тогда h(BDC) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.
Получим S(BDC) = (1/2)14*15 = 105 см².
ответ: S = 84+ (117/2) + (135/2) + 105 = 315 см².
1. Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, КТ=14 дм, МР=8 дм. МН - высота, МН=4 дм. Найти КМ.
Решение: проведем высоту РС.
МР=СН=8 дм.
ΔКМН=ΔРСТ по катету и гипотенузе, КН=СТ=(14-8):2=3 дм.
Рассмотрим ΔКМН - прямоугольный, КН=3 дм, МН=4 дм, значит КМ=5 дм (египетский треугольник).
ответ: 5 дм.
2. Дано: КМСТ - прямоугольник, Р=56 см, КТ-МК=4 см. Найти МТ.
Решение: МК+КТ=56:2=28 см. Пусть КТ=х см, тогда МК=х-4 см.
Составим уравнение: х+х-4=28; 2х=32; х=16.
КТ=16 см; МК=16-4=12 см. Тогда по теореме Пифагора
МТ=√(16²+12²)=√(256+144)=√400=20 см.
(или просто: МТ=20 см, т.к. МК:КТ=12:16=3:4; МКТ - египетский треугольник)
ответ: 20 см.
7) Примем диагональ d и высоту H, равные 2.
Тогда тангенс угла β наклона бокового ребра равен:
tg β = H/(d/2) = 2/1 = 2.
значит, β = arctg 2.
ответ В.
Тангенс наклона апофемы A равен: tg(A) = H/(1/√2) = 2√2.
ответ Г.
В треугольнике ASC боковые рёбра угол S делится высотой пополам.
Тогда угол ASC = 2arctg(1/2).
ответ Д.
8) Примем коэффициент пропорциональности длин сторон основания за к.
Полупериметр р = к(17+10+9)/2 = 18к.
Площадь боковой поверхности Sбок = PL = (2*18k)*16 = 36k*16.
Площадь основания по Герону:
So = √(18k*1k*8k*9k) = 36k².
Приравняем полную поверхность:
1440 = 2*36k² + 36k*16, после сокращения на 72 получаем:
k² + 8k – 20 = 0. D = 64 +4*20 = 144.
k1 = (-8 + 12)/2 = -10, не принимаем.
k2 = (-8 + 12)/2 = 2.
Находит площадь боковой поверхности Sбок = 36*2*16 = 1152 см².
ответ: Sбок = 1152 см².
9) Находим площади граней пирамиды.
p(ABC) = (13+14+15)/2 = 21 см. S(ABC) = √(21*8*7*6) = 84 см².
S(DAC) = (1/2)*9*13 = (117) см².
S(DAB) = (1/2)*9*15 = (135/2) см².
Находим высоту боковой грани BDC путём пересечения вертикальной плоскостью.
Сначала находим высоту основания из точки А.
h(A) = 2S/BC = 2*84/14 = 12 см.
Тогда h(BDC) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.
Получим S(BDC) = (1/2)14*15 = 105 см².
ответ: S = 84+ (117/2) + (135/2) + 105 = 315 см².