Да очень красивое задание. Треугольник MLN-равнобедренный,откуда ΔMLN=ΔMNL. Поскольку 4 угольник KLMN-вписан в окружность,то углы опирающиеся на равные дуги равны: ΔMLN=ΔMKN=ΔMNL=ΔMKL=a. Откуда KM-биссектриса ΔLKN. И наконец самое главное: раз центр вписанной окружности лежит на точке пересечения его биссектрис,то очевидно , что центр вписанной в треугольник KLN окружности лежит на биссектрисе KM. (Значит KM проходит через центр вписанной окружности). И вот мы подобрались к истинному чуду этой задачи: проведем через центр вторую биссектрису LO. (Центр лежит и на биссектрисе ΔNLK соответственно). Обозначим разбитые ей углы по b. Из суммы углов треугольника верно что :ΔLOK=180-(a+b) ,также ΔLOK смежный угол с ΔLOM. Значит : ΔLOM=180-(180-(a+b))=a+b,но вот еще одна неожиданность: ΔMLO=ΔMLN+ΔNLO=a+b. Опа ΔMLO=ΔLOM, то треугольник MLO-равнобедренный. ML=MO. И вот второе чудо этой задачи: Проведем перпендикуляр MT на LN и перпендикуляр MT1 на прямую q ||LK. ΔT1OM=ΔLKM=a ,как соответственные углы при параллельных прямых q и LK. (Там не подписал угол a ,но суть ясна надеюсь). И вот оно: треугольники MT1O и MTL равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Действительно: ΔT1OM=ΔMLT=a. Поскольку у этих двух треугольников есть по равному прямому углу. То из соображений суммы углов треугольника: ΔT1MO=ΔLMT и равны стороны : ML=MO ,откуда следует вышесказанное утверждение. Тогда: MT=MT1,то есть если окружности Z касается прямой LN соответственно в точке T (Тк радиус перпендикулярен касательной). То выходит что MT=MT1=R. А значит радиус окружности Z перпендикулярен прямой q . И T1 принадлежит окружности Z. То есть q-касательная к окружности Z :) ЧТД.
На поверхности шара выбраны точки А и В так, что АВ - 40 см, а расстояние от центра до прямой АВ равно 15см. Найдите площадь сечения шара , проведенного через точки АВ на растоянии 7 см от центра шара. *** Расстояние от центра О шара до прямой, проведенной в нем, это перпендикуляр из центра шара к этой прямой. Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести плоскость. (рис.1 приложения) Плоскость, проведенная через центр круга и АВ отсекает от шара окружность, в которой АВ - хорда, расстояние из центра О до АВ - перпендикуляр ОН, который, по свойству радиуса, делит АВ пополам. Треугольник АНО - прямоугольный с катетами АН=(40:2) см и НО=15см, и гипотенузой АО=R. АО=√(400+225)=√625=25 см Радиус шара равен 25 см. Центр сечения, отстоящено от центра шара на расстоянии 7 см, это точка М. Через М и АВ можно провести плоскость, которая является окружностью с радиусом МС. (рис.2 приложения) ОМС - прямоугольный треугольник с катетами МО и МС и гипотенузой ОС=R Треугольник ОМС из Пифагоровых троек с отношением сторон 7:24:25 ( отношение катета и гипотенузы 7:25, значит, второй катет равен 24). Можно проверить по т. Пифагора МС=24 см Площадь сечения с радиусом 24 см вычислим по формуле площади круга: Ѕ=πr² Ѕ=π*24²=576 π см²
Треугольник MLN-равнобедренный,откуда ΔMLN=ΔMNL.
Поскольку 4 угольник KLMN-вписан в окружность,то углы опирающиеся на равные дуги равны: ΔMLN=ΔMKN=ΔMNL=ΔMKL=a. Откуда KM-биссектриса ΔLKN.
И наконец самое главное: раз центр вписанной окружности лежит на точке пересечения его биссектрис,то очевидно , что центр вписанной в треугольник KLN окружности лежит на биссектрисе KM. (Значит KM проходит через центр вписанной окружности).
И вот мы подобрались к истинному чуду этой задачи: проведем через центр вторую биссектрису LO. (Центр лежит и на биссектрисе ΔNLK соответственно).
Обозначим разбитые ей углы по b. Из суммы углов треугольника верно что :ΔLOK=180-(a+b) ,также ΔLOK смежный угол с ΔLOM.
Значит : ΔLOM=180-(180-(a+b))=a+b,но вот еще одна неожиданность:
ΔMLO=ΔMLN+ΔNLO=a+b. Опа ΔMLO=ΔLOM, то треугольник MLO-равнобедренный. ML=MO.
И вот второе чудо этой задачи:
Проведем перпендикуляр MT на LN и перпендикуляр MT1 на прямую q ||LK. ΔT1OM=ΔLKM=a ,как соответственные углы при параллельных
прямых q и LK. (Там не подписал угол a ,но суть ясна надеюсь).
И вот оно: треугольники MT1O и MTL равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Действительно: ΔT1OM=ΔMLT=a.
Поскольку у этих двух треугольников есть по равному прямому углу. То из соображений суммы углов треугольника: ΔT1MO=ΔLMT и равны стороны : ML=MO ,откуда следует вышесказанное утверждение.
Тогда: MT=MT1,то есть если окружности Z касается прямой LN соответственно в точке T (Тк радиус перпендикулярен касательной). То выходит что MT=MT1=R.
А значит радиус окружности Z перпендикулярен прямой q . И T1 принадлежит окружности Z. То есть q-касательная к окружности Z :)
ЧТД.
***
Расстояние от центра О шара до прямой, проведенной в нем, это перпендикуляр из центра шара к этой прямой.
Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести плоскость. (рис.1 приложения)
Плоскость, проведенная через центр круга и АВ отсекает от шара окружность, в которой АВ - хорда, расстояние из центра О до АВ - перпендикуляр ОН, который, по свойству радиуса, делит АВ пополам.
Треугольник АНО - прямоугольный с катетами АН=(40:2) см и НО=15см, и гипотенузой АО=R.
АО=√(400+225)=√625=25 см
Радиус шара равен 25 см.
Центр сечения, отстоящено от центра шара на расстоянии 7 см, это точка М. Через М и АВ можно провести плоскость, которая является окружностью с радиусом МС. (рис.2 приложения)
ОМС - прямоугольный треугольник с катетами МО и МС и гипотенузой ОС=R
Треугольник ОМС из Пифагоровых троек с отношением сторон 7:24:25 ( отношение катета и гипотенузы 7:25, значит, второй катет равен 24). Можно проверить по т. Пифагора МС=24 см
Площадь сечения с радиусом 24 см вычислим по формуле площади круга:
Ѕ=πr²
Ѕ=π*24²=576 π см²