A...d1 прямоугольный параллелепипед. найдите радиус окружности, описанной около треугольникB1BD

Основания - правильные треугольники. О₁ - центр верхнего основания (точка пересечения медиан (биссектрис, высот)), О - центр нижнего основания.

Пусть Н - середина В₁С₁, тогда О₁Н - радиус окружности, вписанной в треугольник А₁В₁С₁.

  О₁Н = а√3/6 = 6√3/6 = √3 см

Пусть К - середина ВС, тогда ОК - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:

   ОК = 12√3/6 = 2√3 см.

ОО₁ - высота пирамиды, тогда

ОО₁⊥ВС и АК⊥ВС, т.е. ребро ВС перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости АКН, значит

ВС⊥(АКН)

Тогда ВС⊥КН, ∠НКА = 30° и НК - апофема пирамиды.

Sбок = (P₁ + P₂) · HK, где P₁ и P₂ - периметры оснований.

Осталось найти НК.

ОО₁НК - прямоугольная трапеция. Проведем в ней высоту НТ.

ОО₁НТ - прямоугольник, ОТ = О₁Н = √3 см

ТК = ОК - ОТ = 2√3 - √3 = √3 см

ΔНТК:    cos 30° = TK / HK

               HK = TK / cos 30° = √3 / (√3/2) = 2 см

Sбок = (P₁ + P₂) · HK = (6 ·3 + 12 · 3) · 2 = (18 + 36) · 2 = 54 · 2 = 108 см²

Окружность = 360°
1) 5+4 =9 столько частей в этих 360°
Меньшая дуга 360:9*4=40°*4=160°
Градусная величина этой дуги соответствует величине центрального угла ( на рисунке 1 это угол АОВ). 
Вписанный угол АСВ  равен половине центрального угла. 
160°:2=80° - под этим углом видна хорда из  любой точки на дуге АСВ
Если точку взять  на дуге по другую сторону хорды, то угол, под которым она будет видна, равен 
360°:9*5:2=100°. Но обычно имеется в виду острый угол. 
------------
2) 7+3=10 столько частей в двух дугах. 
360°:10*3=108° содержит центральный угол КОМ ( второй рисунок)
Вписанный угол МЕК равен половине градусной меры центрального угла. 
108°:2=54° - под этим углом видна вторая хорда. 
(Или, если точка расположена по другую сторону хорды, 
360:10*7:2=126°)