Добрый день!
Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с выражения |2a - b|.
Для начала нужно найти векторное выражение для 2a - b.
Учитывая, что |a| = 1 и |b| = 3√3, мы знаем, что вектор a имеет длину 1 и вектор b имеет длину 3√3.
Также нам известно, что угол между ними равен 150 градусам.
Давайте найдем вектор a. Мы знаем, что вектор a имеет длину 1. Это означает, что a = 1 * (cos α, sin α), где α - угол между вектором a и положительным направлением оси x.
Поскольку у нас известен угол, можно записать a = (cos 150°, sin 150°).
Теперь найдем вектор b. У нас есть длина вектора b, поэтому b = 3√3 * (cos β, sin β), где β - угол между вектором b и положительным направлением оси x.
Поскольку угол между векторами a и b равен 150 градусам, β = α + 150°.
Теперь мы можем выразить вектор 2a - b. Подставляем выражения для векторов a и b в векторное выражение 2a - b.
2a - b = 2(cos 150°, sin 150°) - 3√3(cos (α + 150°), sin (α + 150°)).
Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с выражения |2a - b|.
Для начала нужно найти векторное выражение для 2a - b.
Учитывая, что |a| = 1 и |b| = 3√3, мы знаем, что вектор a имеет длину 1 и вектор b имеет длину 3√3.
Также нам известно, что угол между ними равен 150 градусам.
Давайте найдем вектор a. Мы знаем, что вектор a имеет длину 1. Это означает, что a = 1 * (cos α, sin α), где α - угол между вектором a и положительным направлением оси x.
Поскольку у нас известен угол, можно записать a = (cos 150°, sin 150°).
Теперь найдем вектор b. У нас есть длина вектора b, поэтому b = 3√3 * (cos β, sin β), где β - угол между вектором b и положительным направлением оси x.
Поскольку угол между векторами a и b равен 150 градусам, β = α + 150°.
Теперь мы можем выразить вектор 2a - b. Подставляем выражения для векторов a и b в векторное выражение 2a - b.
2a - b = 2(cos 150°, sin 150°) - 3√3(cos (α + 150°), sin (α + 150°)).
Теперь давайте упростим это выражение:
2a - b = (2cos 150° - 3√3cos (α + 150°), 2sin 150° - 3√3sin (α + 150°)).
Мы получили векторное выражение для 2a - b.
Теперь остается только найти длину этого вектора |2a - b|. Чтобы это сделать, нужно вычислить квадрат длины и затем извлечь из него квадратный корень:
|2a - b|^2 = (2cos 150° - 3√3cos (α + 150°))^2 + (2sin 150° - 3√3sin (α + 150°))^2.
Это можно упростить:
|2a - b|^2 = 4cos^2 150° - 12√3cos 150°cos(α + 150°) + 9 * 3cos^2 (α + 150°) + 4sin^2 150° - 12√3sin 150°sin(α + 150°) + 9 * 3sin^2 (α + 150°).
Мы знаем, что cos^2 α + sin^2 α = 1, поэтому можем заменить эти выражения:
|2a - b|^2 = 4 * 1 - 3 * 12√3cos 150°cos(α + 150°) + 9 * 3cos^2 (α + 150°) + 4 * 1 - 3 * 12√3sin 150°sin(α + 150°) + 9 * 3sin^2 (α + 150°).
Выполняем расчеты:
|2a - b|^2 = 4 - 36√3cos 150°cos(α + 150°) + 81cos^2 (α + 150°) + 4 - 36√3sin 150°sin(α + 150°) + 81sin^2 (α + 150°).
Учитывая, что cos(α + 150°) = cos α * cos 150° - sin α * sin 150° и sin(α + 150°) = sin α * cos 150° + cos α * sin 150°, продолжим расчеты:
|2a - b|^2 = 4 - 36√3(cos α * cos 150° - sin α * sin 150°) + 81(cos^2 α * cos^2 150° - 2cos α * sin α * cos 150° * sin 150° + sin^2 α * sin^2 150°) + 4 - 36√3(sin α * cos 150° + cos α * sin 150°) + 81(sin^2 α * cos^2 150° + 2sin α * cos α * cos 150° * sin 150° + cos^2 α * sin^2 150°).
Обратите внимание, что cos^2 150° = 1/4 и sin^2 150° = 3/4. Продолжаем упрощать:
|2a - b|^2 = 4 - 36√3(cos α * 1/4 - sin α * √3/2) + 81(cos^2 α * 1/16 - 2cos α * sin α * 1/2 * √3/2 + sin^2 α * 3/4) + 4 - 36√3(sin α * 1/2 + cos α * √3/2) + 81(sin^2 α * 1/4 + 2sin α * cos α * 1/2 * √3/2 + cos^2 α * 3/4).
Теперь вычисляем значения, используя известные свойства тригонометрических функций:
|2a - b|^2 = 4 - 9√3 * cos α + 81/16 * cos^2 α - 81√3/4 * sin α * cos α + 81/4 * sin^2 α + 4 - 18√3 * sin α + 81/4 * sin^2 α + 81√3/4 * sin α * cos α + 81/4 * cos^2 α.
Группируем слагаемые:
|2a - b|^2 = 8 - 27√3 * cos α - 54√3 * sin α + 81/16 * cos^2 α + 162/4 * sin^2 α.
Поскольку у нас известно, что |a| = 1 и |b| = 3√3, мы получаем основные значения, а именно 1 и 3√3. Подставим их в выражение:
|2a - b|^2 = 8 - 27√3 * cos α - 54√3 * sin α + 81/16 * 1 + 162/4 * 3.
Для упрощения расчетов, заменим √3 = √(9/3):
|2a - b|^2 = 8 - 27√3 * cos α - 54√3 * sin α + 81/16 + 162/4 * 3.
Выполняем вычисления:
|2a - b|^2 = 8 - 27√3 * cos α - 54√3 * sin α + 81/16 + 486/4.
Суммируем числа:
|2a - b|^2 = 8 + 81/16 + 486/4 - 27√3 * cos α - 54√3 * sin α.
Выполняем дальнейшие вычисления:
|2a - b|^2 = 754/16 - 27√3 * cos α - 54√3 * sin α.
Мы почти нашли квадрат длины вектора 2a - b. А чтобы найти саму длину, остается лишь извлечь квадратный корень из найденного значения:
|2a - b| = √(754/16 - 27√3 * cos α - 54√3 * sin α).
Таким образом, длиной вектора |2a - b| является корень из значения 754/16 - 27√3 * cos α - 54√3 * sin α.
Надеюсь, это решение будет понятно школьнику! Если у него возникнут вопросы или потребуется дополнительное объяснение, обязательно дайте знать.