А) Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 12 см. Найдите длину биссектрисы,проведённую под его прямым углом. б) Если в треугольнике АВС,АС= 7см, СВ = 9см и АD = CD.Найдите длину биссектрисы СD. ОТВЕТ: а) 5,65685 см б) 5,25 см.
а) У нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны длины катетов. Мы хотим найти длину биссектрисы, проведенной под его прямым углом.
1. Для начала определимся, что такое биссектриса. Биссектрисой называется отрезок, который делит угол пополам. В нашем случае, мы хотим найти биссектрису, проведенную под прямым углом треугольника, то есть биссектрису, которая делит этот угол пополам.
2. Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть `a^2 + b^2 = c^2`, где a и b - катеты, c - гипотенуза.
3. Давайте найдем длину гипотенузы нашего прямоугольного треугольника, используя данную формулу. У нас известны катеты: a = 6 см и b = 12 см. Подставим значения в формулу:
`6^2 + 12^2 = c^2`
`36 + 144 = c^2`
`180 = c^2`
4. Теперь найдем длину гипотенузы c. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
`sqrt(180) = sqrt(c^2)`
`c = sqrt(180) ≈ 13.4164 см`
5. Длина биссектрисы, проведенной под прямым углом, равна половине гипотенузы. Поделим длину гипотенузы на 2:
`13.4164 / 2 ≈ 6.7082 см`
Округлим полученное значение до трех знаков после запятой:
`≈ 6.708 см`
Таким образом, длина биссектрисы, проведенной под прямым углом, составляет примерно 6.708 см.
б) У нас есть треугольник, в котором известны длины сторон. Мы хотим найти длину биссектрисы, проведенной к стороне CD.
1. Для начала давайте нарисуем треугольник по условию. У нас есть треугольник ABC, где АС = 7 см, СВ = 9 см и АD = CD.
(Вставьте рисунок треугольника ABC, где сторона AD равна стороне CD.)
2. Согласно условию, сторона AD равна стороне CD, что означает, что это равнобедренный треугольник.
3. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, делит его на две равные части. То есть, CD будет разделена на две равные части точкой пересечения биссектрисы и стороны AC.
4. Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, мы можем сказать, что биссектриса CD будет также являться высотой. Используя это свойство, мы можем решить задачу.
5. Для решения задачи воспользуемся формулой для длины биссектрисы треугольника ABC:
`l = 2 * sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / (a + b)`
Где l - длина биссектрисы, a, b - стороны треугольника, c - основание равнобедренного треугольника, s - полупериметр треугольника.
6. Найдем длину биссектрисы. Для этого нам нужно знать значения всех сторон треугольника ABC. Из условия задачи мы знаем, что AC = 7 см и BC = 9 см. Основание треугольника равно CD, но мы не знаем его значение.
7. Однако мы можем найти значение основания, используя свойство равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, делит его на две равные части. То есть, если мы обозначим половину основания как "x", то другая половина тоже будет равна "x". Тогда основание треугольника будет равно сумме этих половин:
`CD = x + x = 2x`
Из условия задачи мы также знаем, что АD = CD, что означает, что основание равнобедренного треугольника равно 2x.
8. Давайте обозначим основание равнобедренного треугольника как c и выразим его через x:
`c = 2x`
9. Заменим сторону AC значением 7 см, сторону BC значением 9 см и подставим c = 2x в формулу для длины биссектрисы:
`l = 2 * sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / (a + b)`
`l = 2 * sqrt(s * (s - 7) * (s - 9) * (s - 2x)) / (7 + 9)`
10. Для определения длины биссектрисы нам также нужно знать значение полупериметра треугольника, s. Полупериметр треугольника находится как сумма всех сторон, деленная на 2:
`s = (a + b + c) / 2`
`s = (7 + 9 + 2x) / 2`
11. Теперь у нас есть все данные для решения задачи. В формуле для длины биссектрисы подставим значения s, a, b и c:
`l = 2 * sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / (a + b)`
13. Поскольку у нас есть равенство боковых сторон равнобедренного треугольника, мы можем записать уравнение:
`x = 7 - (16 - x)`
`x = 7 - 16 + x`
`2x = -9`
`x = -9 / 2 = -4.5`
Однако, в данном случае получается отрицательное значение x, что не имеет смысла в контексте длины стороны треугольника. Поэтому, мы можем сказать, что решений у данной задачи нет.
Вот решение задачи:
а) Длина биссектрисы, проведенной под прямым углом прямоугольного треугольника со сторонами 6 см и 12 см, составляет примерно 6.708 см.
б) Решений нет, так как некорректно заданы данные в условии.
а) У нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны длины катетов. Мы хотим найти длину биссектрисы, проведенной под его прямым углом.
1. Для начала определимся, что такое биссектриса. Биссектрисой называется отрезок, который делит угол пополам. В нашем случае, мы хотим найти биссектрису, проведенную под прямым углом треугольника, то есть биссектрису, которая делит этот угол пополам.
2. Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть `a^2 + b^2 = c^2`, где a и b - катеты, c - гипотенуза.
3. Давайте найдем длину гипотенузы нашего прямоугольного треугольника, используя данную формулу. У нас известны катеты: a = 6 см и b = 12 см. Подставим значения в формулу:
`6^2 + 12^2 = c^2`
`36 + 144 = c^2`
`180 = c^2`
4. Теперь найдем длину гипотенузы c. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
`sqrt(180) = sqrt(c^2)`
`c = sqrt(180) ≈ 13.4164 см`
5. Длина биссектрисы, проведенной под прямым углом, равна половине гипотенузы. Поделим длину гипотенузы на 2:
`13.4164 / 2 ≈ 6.7082 см`
Округлим полученное значение до трех знаков после запятой:
`≈ 6.708 см`
Таким образом, длина биссектрисы, проведенной под прямым углом, составляет примерно 6.708 см.
б) У нас есть треугольник, в котором известны длины сторон. Мы хотим найти длину биссектрисы, проведенной к стороне CD.
1. Для начала давайте нарисуем треугольник по условию. У нас есть треугольник ABC, где АС = 7 см, СВ = 9 см и АD = CD.
(Вставьте рисунок треугольника ABC, где сторона AD равна стороне CD.)
2. Согласно условию, сторона AD равна стороне CD, что означает, что это равнобедренный треугольник.
3. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, делит его на две равные части. То есть, CD будет разделена на две равные части точкой пересечения биссектрисы и стороны AC.
4. Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, мы можем сказать, что биссектриса CD будет также являться высотой. Используя это свойство, мы можем решить задачу.
5. Для решения задачи воспользуемся формулой для длины биссектрисы треугольника ABC:
`l = 2 * sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / (a + b)`
Где l - длина биссектрисы, a, b - стороны треугольника, c - основание равнобедренного треугольника, s - полупериметр треугольника.
6. Найдем длину биссектрисы. Для этого нам нужно знать значения всех сторон треугольника ABC. Из условия задачи мы знаем, что AC = 7 см и BC = 9 см. Основание треугольника равно CD, но мы не знаем его значение.
7. Однако мы можем найти значение основания, используя свойство равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, делит его на две равные части. То есть, если мы обозначим половину основания как "x", то другая половина тоже будет равна "x". Тогда основание треугольника будет равно сумме этих половин:
`CD = x + x = 2x`
Из условия задачи мы также знаем, что АD = CD, что означает, что основание равнобедренного треугольника равно 2x.
8. Давайте обозначим основание равнобедренного треугольника как c и выразим его через x:
`c = 2x`
9. Заменим сторону AC значением 7 см, сторону BC значением 9 см и подставим c = 2x в формулу для длины биссектрисы:
`l = 2 * sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / (a + b)`
`l = 2 * sqrt(s * (s - 7) * (s - 9) * (s - 2x)) / (7 + 9)`
10. Для определения длины биссектрисы нам также нужно знать значение полупериметра треугольника, s. Полупериметр треугольника находится как сумма всех сторон, деленная на 2:
`s = (a + b + c) / 2`
`s = (7 + 9 + 2x) / 2`
11. Теперь у нас есть все данные для решения задачи. В формуле для длины биссектрисы подставим значения s, a, b и c:
`l = 2 * sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / (a + b)`
`l = 2 * sqrt((7 + 9 + 2x) / 2 * ((7 + 9 + 2x) / 2 - 7) * ((7 + 9 + 2x) / 2 - 9) * ((7 + 9 + 2x) / 2 - 2x)) / (7 + 9)`
12. Теперь у нас есть формула для вычисления длины биссектрисы в зависимости от значения x. Разрешите мне посчитать это выражение:
`l = 2 * sqrt((16 + 2x) / 2 * ((16 + 2x) / 2 - 7) * ((16 + 2x) / 2 - 9) * ((16 + 2x) / 2 - 2x)) / 16`
После упрощения этого выражения получим:
`l = 2 * sqrt((16 + 2x) * (x - 1) * (x - 3) * (8 - x)) / 16`
Теперь давайте найдем значение x.
13. Поскольку у нас есть равенство боковых сторон равнобедренного треугольника, мы можем записать уравнение:
`x = 7 - (16 - x)`
`x = 7 - 16 + x`
`2x = -9`
`x = -9 / 2 = -4.5`
Однако, в данном случае получается отрицательное значение x, что не имеет смысла в контексте длины стороны треугольника. Поэтому, мы можем сказать, что решений у данной задачи нет.
Вот решение задачи:
а) Длина биссектрисы, проведенной под прямым углом прямоугольного треугольника со сторонами 6 см и 12 см, составляет примерно 6.708 см.
б) Решений нет, так как некорректно заданы данные в условии.