Пусть ABC - прямоугольный треугольник c гипотенузой AB, катетами BC и АС=18 см. Угол CAB = 30 градусов, катет BC противолежащий углу 30 градусов равен половине гипотенузы. AB = 2* BC
Обозначим вершины ромба АВСД, с диагоналями АС и ВД а высоту АН. Рассмотрим ∆АСД. Высота АН делит СД пополам, поэтому она является ещё медианой, следовательно ∆АСД - равнобедренный, поэтому АД=АС, а так как стороны ромба равны, то
АД=СД=АС=АВ=ВС, значит ∆АСД=∆АВС и они являются равносторонними, у которых каждый угол составляет 60°. Так как диагонали ромба, пересекаясь, образуют прямой угол и делятся пополам, то они также образуют 4 равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них: ∆АВО. В нём: ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Найдём сторону АВ через синус угла. Синус угла - это отношение противолежащего от угла катета к гипотенузе, тогда
Итак: все стороны ромба и диагональ АС=4см. Поскольку нам уже известна меньшая диагональ найдём площадь ромба по формуле:
Можно использовать второй вариант, чтобы найти площадь через высоту АН, проведённую к стороне ромба.
Эта высота АН в ∆АСД равна высоте ВО в ∆АВС=2√3 (так как ∆АВС=∆АСД, и они равносторонние, то их высоты равны).
Угол CAB = 30 градусов, катет BC противолежащий углу 30 градусов равен половине гипотенузы. AB = 2* BC
По теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC²
BC² = AB² - AC²
BC² = (2* BC)² - AC²
BC² = 4* BC² - AC²
3 * BC² = AC²
BC² = AC² / 3
BC² = 18² / 3 = 324 / 3 = 108
BC = √108 = √(6*6*3) = 6√3 (см)
AC = 2 * 6√3 = 12√3 (см)
Угол ABC = 180 - 90 - 30 = 60 градусов Угол ACB - прямой. Биссектриса (BD) делит угол ABC пополам. Угол DBC = 30 град, угол BDC = 60 град ⇒ треугольники ABC и BDC подобны по трем углам.
У подобных треугольников стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
BC AC
=
DC BC
6√3 12√3
=
DC 6√3
Свойство пропорции - произведение крайних членов равно произведению средних
6√3 * 6√3 = DC * 12√3
108 = DC * 12√3
DC = 108 / 12√3
DC = 9 / √3 = 9√3 / 3 = 3√3 ≈5,2 (см)
AD = AC - DC
AD = 18 - 3√3 ≈ 18 - 5,2 ≈ 12,8 (см)
Биссектриса острого угла треугольника делит бОльший катет на отрезки 12,8 см и 5,2 см
S=8√3см²
Объяснение:
Обозначим вершины ромба АВСД, с диагоналями АС и ВД а высоту АН. Рассмотрим ∆АСД. Высота АН делит СД пополам, поэтому она является ещё медианой, следовательно ∆АСД - равнобедренный, поэтому АД=АС, а так как стороны ромба равны, то
АД=СД=АС=АВ=ВС, значит ∆АСД=∆АВС и они являются равносторонними, у которых каждый угол составляет 60°. Так как диагонали ромба, пересекаясь, образуют прямой угол и делятся пополам, то они также образуют 4 равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них: ∆АВО. В нём: ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Найдём сторону АВ через синус угла. Синус угла - это отношение противолежащего от угла катета к гипотенузе, тогда
Итак: все стороны ромба и диагональ АС=4см. Поскольку нам уже известна меньшая диагональ найдём площадь ромба по формуле:
Можно использовать второй вариант, чтобы найти площадь через высоту АН, проведённую к стороне ромба.
Эта высота АН в ∆АСД равна высоте ВО в ∆АВС=2√3 (так как ∆АВС=∆АСД, и они равносторонние, то их высоты равны).
Тогда S=АД×АН=4×2√3=8√3см²