А1 В кубе АВСDА1В1С1D1 укажите плоскости, перпендикулярные прямой DС: АВВ1 и DСС1;
АDD1 и ВСС1;е
АСС1 и ВDD1;
АВС и А1В1С1.
А2 В кубе АВСDА1В1С1D1 укажите проекцию прямой В1D на плоскость В1АА1:

ВD;
В1В;
В1А;
АD.
А3 В кубе АВСDА1В1С1D1 расстояние между прямыми А1D и ВВ1 определяется как длина отрезка:

DB;
А1В;
DB1;
А1B1.
А4 В кубе АВСDА1В1С1D1 углом между прямой В1D и плоскостью АDD1 является угол:

АDА1;
А1DВ1;
АDВ1;
А1DD1.
А5 В кубе АВСDА1В1С1D1 линейным углом двугранного угла D1С1СВ является угол:
D1С1В;
DС1В1;
DСВ;
DС1В.
В задании А6 – А7 необходимо выбрать верные утверждения. Для каждого утверждения укажите: верно (+) или не верно (–).
А6 Известно, что прямая а параллельна плоскости , прямая b не лежит в плоскости , тогда:
Если b ^ a, то b и a обязательно скрещивающиеся.
Если b ^ a и b пересекает a, то b ^ a.
Если b ^ a, то b обязательно перпендикулярна a.
Если b || a, то b обязательно параллельна a. верно / не верно
верно / не верно
верно / не верно
верно / не верно
А7 В кубе АВСDА1В1С1D1 проведено сечение плоскостью А1В1С. Тогда:

Плоскость СВВ1 перпендикулярна линии пересечения секущей плоскости и плоскости ABC.
Углом между секущей плоскостью и прямой AC является угол между прямыми AС и A1C.
Угол между секущей плоскостью и плоскостью ABC равен углу BСА1.
Угол между секущей плоскостью и плоскостью ABC равен 45°. верно / не верно

верно / не верно

верно / не верно

верно / не верно

В задании А8 необходимо выбрать свойства, которыми обладает прямоугольный параллелепипед. Для каждого утверждения укажите: да (+) или нет (–).
А8 Все плоские углы при вершинах прямые.
Все двугранные углы прямые.
Все грани равны.
Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Противоположные грани параллельны и равны.
Все диагонали перпендикулярны. да / нет
да / нет
да / нет

да / нет
да / нет
да / нет
В заданиях В1 – В3 решите задачи, в ответе укажите число без единиц измерения.
В1 Перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость, равен 6 см. Найдите длину наклонной, проведенной из точки А, если она образует с плоскостью угол 30°.
В2 В треугольнике АВС угол С = 90°, АС = ВС, АВ = 16. Отрезок СD перпендикулярен к плоскости АВС и СD = 6. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.
В3 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 2; 4; √5.

А1
Плоскость перпендикулярна прямой DC, если она содержит хотя бы одну из точек этой прямой и нормаль этой плоскости перпендикулярна прямой DC.

а) Построим плоскость АВВ1, проходящую через точки А, В и В1.
- Точка А лежит на этой плоскости, так как она указана в названии плоскости.
- Точка В также лежит на этой плоскости, потому что она указана в названии плоскости.
- Для того чтобы провести прямую через эти две точки и прямоугольно к плоскости, нам нужна еще одна точка, В1. В1 является вершиной куба и указана в названии плоскости, поэтому она также лежит на плоскости АВВ1.
- Чтобы показать, что плоскость АВВ1 перпендикулярна прямой DC, нам нужно показать, что нормаль плоскости АВВ1 перпендикулярна прямой DC. Нормаль плоскости можно найти, взяв векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Два вектора, лежащих в плоскости, могут быть найдены, например, векторным произведением АВ и А1В1. Если векторное произведение равно нулю, это означает, что векторы коллинеарны и, следовательно, лежат в одной плоскости. Таким образом, нормаль плоскости АВВ1 будет перпендикулярна как АВ, так и А1В1.

б) Построим плоскость AD1D, проходящую через точки A, D и D1.
- Точка A лежит на этой плоскости, так как она указана в названии плоскости.
- Точка D также лежит на этой плоскости, потому что она указана в названии плоскости.
- Для того чтобы провести прямую через эти две точки и прямоугольно к плоскости, нам нужна еще одна точка, D1. D1 является вершиной куба и указана в названии плоскости, поэтому она также лежит на плоскости AD1D.
- Чтобы показать, что плоскость AD1D перпендикулярна прямой DC, нам нужно показать, что нормаль плоскости AD1D перпендикулярна прямой DC. Нормаль плоскости можно найти, взяв векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Два вектора, лежащих в плоскости, могут быть найдены, например, векторным произведением AD1 и AD. Если векторное произведение равно нулю, это означает, что векторы коллинеарны и, следовательно, лежат в одной плоскости. Таким образом, нормаль плоскости AD1D будет перпендикулярна как AD1, так и AD.

в) Построим плоскость ACC1, проходящую через точки A, C и C1.
- Точка A лежит на этой плоскости, так как она указана в названии плоскости.
- Точка C также лежит на этой плоскости, потому что она указана в названии плоскости.
- Для того чтобы провести прямую через эти две точки и прямоугольно к плоскости, нам нужна еще одна точка, C1. C1 является вершиной куба и указана в названии плоскости, поэтому она также лежит на плоскости ACC1.
- Чтобы показать, что плоскость ACC1 перпендикулярна прямой DC, нам нужно показать, что нормаль плоскости ACC1 перпендикулярна прямой DC. Нормаль плоскости можно найти, взяв векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Два вектора, лежащих в плоскости, могут быть найдены, например, векторным произведением AC и AC1. Если векторное произведение равно нулю, это означает, что векторы коллинеарны и, следовательно, лежат в одной плоскости. Таким образом, нормаль плоскости ACC1 будет перпендикулярна как AC, так и AC1.

г) Построим плоскость ABC, проходящую через точки A, B и C.
- Точка A лежит на этой плоскости, так как она указана в названии плоскости.
- Точка B также лежит на этой плоскости, потому что она указана в названии плоскости.
- Точка C также лежит на этой плоскости, потому что она указана в названии плоскости.
- Чтобы показать, что плоскость ABC перпендикулярна прямой DC, нам нужно показать, что нормаль плоскости ABC перпендикулярна прямой DC. Нормаль плоскости можно найти, взяв векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Два вектора, лежащих в плоскости, могут быть найдены, например, векторным произведением AB и AC. Если векторное произведение равно нулю, это означает, что векторы коллинеарны и, следовательно, лежат в одной плоскости. Таким образом, нормаль плоскости ABC будет перпендикулярна как AB, так и AC.

А2
Проекция прямой В1D на плоскость В1АА1 будет линией, которая перпендикулярна к этой плоскости и проходит через конец прямой В1D.

а) Линия ВD - это проекция прямой В1D на плоскость В1АА1, так как она перпендикулярна этой плоскости и проходит через точку В.

б) Линия В1В - это не проекция прямой В1D на плоскость В1АА1, потому что она не перпендикулярна этой плоскости.

в) Линия В1А - это проекция прямой В1D на плоскость В1АА1, так как она перпендикулярна этой плоскости и проходит через точку А.

г) Линия АD - это не проекция прямой В1D на плоскость В1АА1, потому что она не перпендикулярна этой плоскости.

А3
Расстояние между прямыми А1D и ВВ1 может быть определено как длина отрезка, проведенного перпендикулярно к обеим прямым и соединяющего их прямыми линиями.

а) Отрезок DB - это не расстояние между прямыми А1D и ВВ1, потому что он не соединяет эти прямые.

б) Отрезок А1В - это не расстояние между прямыми А1D и ВВ1, потому что он не соединяет эти прямые.

в) Отрезок DB1 - это не расстояние между прямыми А1D и ВВ1, потому что он не соединяет эти прямые.

г) Отрезок А1B1 - это расстояние между прямыми А1D и ВВ1, так как он соединяет эти прямые перпендикулярно к ним.

А4
Угол между прямой В1D и плоскостью АDD1 можно определить как угол между прямой В1D и прямой BC, где B и C - проекции точек В1 и D на эту плоскость, соответственно.

а) Угол АDА1 - это не угол между прямой В1D и плоскостью АDD1, потому что он не лежит на этой плоскости.

б) Угол А1DВ1 - это не угол между прямой В1D и плоскостью АDD1, потому что он не лежит на этой плоскости.

в) Угол АDВ1 - это не угол между прямой