1. Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые ребра равны и составляют с плоскостью основания одинаковые углы. Высота пирамиды проецируется в центр основания.
ΔSOA: ∠SOA = 90°, SO = SA · sin60° = 6 · √3/2 = 3√3 см
OA = SA · cos60° = 6 · 1/2 = 3 см
ОА - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
ОА = АВ√3/3
АВ = ОА√3 = 3√3 см
Sabc = AB²√3/4 = 27√3/4 см²
V = 1/3 · Sabc · SO = 1/3 · 27√3/4 · 3√3 = 81/4 см³
2. Так как пирамида вписана в конус, то основание пирамиды - прямоугольный треугольник - вписано в основание конуса. Центр основания конуса будет находиться на середине гипотенузы. Высота пирамиды совпадает с высотой конуса - SO.
Пусть ВС = 2а, ∠АВС = 30°.
Проведем ОК⊥ВС. ОК - проекция SK на плоскость основания, значит и SK⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠SKO = 45° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани SBC к основанию.
Так как и АС⊥ВС, то ОК║АС. ОК - средняя линия ΔАВС по признаку (проходит через середину стороны АВ и параллельна третьей стороне).
1 признак. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AD║ BC, AD = BC. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: Проведем BD. ВС = AD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD, BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒ ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что ∠3 = ∠4, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых CD и АВ секущей BD, значит CD║AB. Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм.
2 признак. Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Дано: ABCD, AB = CD, BC = AD. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: Проведем BD. ВС = AD по условию, AB = CD по условию, BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒ ΔABD = ΔCDB по трем сторонам. Из равенства треугольников следует, что ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD, значит ВС║AD и ABCD - параллелограмм по первому признаку.
3 признак. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм. Дано: ABCD, AC∩BD = O, AO = OC, BO = OD. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: AO = OC по условию, BO = OD по условию, ∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒ ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = CD и ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит АВ║CD. ABCD - параллелограмм по первому признаку.
1. Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые ребра равны и составляют с плоскостью основания одинаковые углы. Высота пирамиды проецируется в центр основания.
ΔSOA: ∠SOA = 90°, SO = SA · sin60° = 6 · √3/2 = 3√3 см
OA = SA · cos60° = 6 · 1/2 = 3 см
ОА - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
ОА = АВ√3/3
АВ = ОА√3 = 3√3 см
Sabc = AB²√3/4 = 27√3/4 см²
V = 1/3 · Sabc · SO = 1/3 · 27√3/4 · 3√3 = 81/4 см³
2. Так как пирамида вписана в конус, то основание пирамиды - прямоугольный треугольник - вписано в основание конуса. Центр основания конуса будет находиться на середине гипотенузы. Высота пирамиды совпадает с высотой конуса - SO.
Пусть ВС = 2а, ∠АВС = 30°.
Проведем ОК⊥ВС. ОК - проекция SK на плоскость основания, значит и SK⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠SKO = 45° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани SBC к основанию.
Так как и АС⊥ВС, то ОК║АС. ОК - средняя линия ΔАВС по признаку (проходит через середину стороны АВ и параллельна третьей стороне).
ΔАВС: AB = BC / cos30° = 2a / (√3/2) = 4a√3/3
R = AB/2 = 2a√3/3 - радиус основания конуса,
Sосн = πR² = 4a²π/3
АС = ВС · tg30° = 2a/√3 = 2a√3/3
ОК = АС/2 = а√3/3 как средняя линия,
ΔSKO прямоугольный, равнобедренный, ⇒
SO = OK = a√3/3.
Vконуса = 1/3 · Sосн · SO
Vконуса = 1/3 · 4a²π/3 · a√3/3 = 4a³√3/27
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AD║ BC, AD = BC.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
Проведем BD.
ВС = AD по условию,
∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что
∠3 = ∠4, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых CD и АВ секущей BD, значит
CD║AB.
Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм.
2 признак.
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AB = CD, BC = AD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
Проведем BD.
ВС = AD по условию,
AB = CD по условию,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по трем сторонам.
Из равенства треугольников следует, что
∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD, значит ВС║AD и ABCD - параллелограмм по первому признаку.
3 признак.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AC∩BD = O, AO = OC, BO = OD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство:
AO = OC по условию,
BO = OD по условию,
∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒
ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.
Значит, AB = CD и ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит АВ║CD.
ABCD - параллелограмм по первому признаку.