ABCA,B,C, — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 24 √3. Точки Р К — середи-
ны ребер A1B1 и AA1 соответственно, Мє В1С1
С1М:C1B1 = 1:3. Найдите длину отрезка, по кото-
рому плоскость, проходящая через точки M, P, K,
пересекает грань BB1C1C.
ABCA,B,C, - правильная треугольная призма, все ребра которой равны 24√3. Это значит, что каждая грань этой призмы - правильный треугольник, а длина каждого ребра равна 24√3.
Точки P и K - середины ребер A1B1 и AA1 соответственно. Возьмем середину ребра A1B1 и обозначим ее как S (средняя точка). Тогда мы можем найти PS, используя теорему Пифагора в треугольнике APS, где AP = AB/2 = 12√3. Получаем:
PS = √(AP^2 - AS^2) = √((12√3)^2 - (24√3/2)^2) = √(144*3 - 9*3) = √(432 - 27) = √405 = 9√5
Аналогично, используя теорему Пифагора в треугольнике AAK, где AK = AB/2 = 12√3, мы можем найти KM:
KM = √(AK^2 - AM^2) = √((12√3)^2 - (24√3/4)^2) = √(144*3 - 36*3) = √(432 - 108) = √324 = 18
Теперь, по условию, С1M:C1B1 = 1:3. Поскольку М — середина ребра C1B1, то С1М = МB1. Поэтому МВ1 = 3С1М = 3МB1 = 3KM = 3*18 = 54.
Теперь давайте рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, P и K, и найдем, как она пересекает грань BB1C1C.
Обозначим точку пересечения прямой MP с гранью BB1C1C как L.
Так как P и K - середины ребер, проходящих через A1 и A соответственно, то прямая PK будет проходить через середину ребра AC, которую мы обозначим как O. Также OB = BC/2 = 12√3/2 = 6√3.
Так как MP и OK пересекаются в точке S, то прямые MP и OS параллельны (поскольку они проходят через две пары параллельных сторон призмы). Значит, треугольники OSP и SLP подобны:
OS/SL = OP/PL
OS = PS (мы уже найден значение PS)
OP = OB + BP (мы знаем OB = 6√3, нам нужно найти BP)
BP = 2PM (поскольку P - середина AB, а PM проходит через середину PK)
BP = 2*9√5 = 18√5
OP = OB + BP = 6√3 + 18√5 = 6√3 + 6√5√3 = 6(√3 + √5√3) = 6(√3 + √15)
Теперь подставим все значения в формулу подобия треугольников OSP и SLP:
OS/SL = OP/PL
PS/SL = (6(√3 + √15))/PL
9√5/SL = 6(√3 + √15)/PL
SL/PL = (6(√3 + √15))/(9√5)
Так как SL + PL = SLP, то SL + (24√3) = PL
SL/(24√3) = (6(√3 + √15))/(9√5)
SL = (6(√3 + √15))/(9√5) * (24√3)
SL = (6(√3 + √15))/(9√5) * 24√3
SL = (6(√3 + √15))/3 * 24
SL = (2(√3 + √15)) * 8
SL = 16(√3 + √15)
Таким образом, длина отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M, P, K пересекает грань BB1C1C, равна 16(√3 + √15).