1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Проведем высоту ромба РН через точку О пересечения диагоналей (центр ромба). ВD=10, ВО=5, РН=DM=8, ОН=4. НВ=3 (так как треугольник ОНВ - Пифагоров) ОН - высота из прямого угла и делит гипотенузу так, что АН*НВ=ОН² (свойство). Отсюда АН=16/3=5и1/3. Тогда АВ=АН+НВ =5и1/3+3=8и1/3. Или так: из треугольника DMB по Пифагору: МВ=√(BD²-DM²)= √(100-64)=6. AM²=AD²-DM² (по Пифагору). АМ=АВ-ВМ=АВ-6. AD=АВ. => (АВ-6)²=АВ²-64 => 12AB=100, АВ=100/12 = 8 и 1/3. ответ: сторона ромба равна 8и1/3 ед.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. ВМ - медиана тр-ка АВС, значит площадь Sabm=(1/2)*Sabc. AK - медиана тр-ка АВМ, значит Sabk=Sakm=(1/2)*Sabm=(1/4)*Sabc. Проведем MN параллельно ВС. Треугольники MNK и BPK равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (<KBP=<KMN как внутренние накрест лежащие при параллельных MN и ВС и секущей ВМ, <BKP=NKM как вертикальные, а МК=КВ - дано). Из равенства этих треугольников ВР=MN. Но MN - средняя линия треугольника АРС и равна (1/2)*РС. Значит ВР/РС = 1/2. Площади треугольников АВР и АРС, имеющих одинаковую высоту, проведенную из вершины А к стороне ВС (сторонам ВР и РС) относятся как эти стороны. То есть Sabp/Sapc=1/2. Значит Sabp = (1/3)*Sabc. Sbkp = Sabp - Sabk = (1/3)*Sabc - (1/4)*Sabc = (1/12)*Sabc. Тогда Sbkp/Samk = [(1/12)*Sabc]/[(1/4)*Sabc] = 1/3. ответ: Sbkp/Samk = 1/3.
Проведем высоту ромба РН через точку О пересечения диагоналей (центр ромба).
ВD=10, ВО=5, РН=DM=8, ОН=4.
НВ=3 (так как треугольник ОНВ - Пифагоров)
ОН - высота из прямого угла и делит гипотенузу так, что АН*НВ=ОН² (свойство). Отсюда
АН=16/3=5и1/3. Тогда АВ=АН+НВ =5и1/3+3=8и1/3.
Или так: из треугольника DMB по Пифагору:
МВ=√(BD²-DM²)= √(100-64)=6.
AM²=AD²-DM² (по Пифагору). АМ=АВ-ВМ=АВ-6.
AD=АВ. => (АВ-6)²=АВ²-64 => 12AB=100,
АВ=100/12 = 8 и 1/3.
ответ: сторона ромба равна 8и1/3 ед.
2.Площадь треугольника S=(1/2)*a*h.
h=√(10²-6²)=8 (по Пифагору).
S= (1/2)*12*8=48ед².
r=S/p = 48/16= 3 ед. (р - полупериметр)
R=abc/4S = 10*10*12/192=6,25 ед.
Проведем MN параллельно ВС. Треугольники MNK и BPK равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (<KBP=<KMN как внутренние накрест лежащие при параллельных MN и ВС и секущей ВМ, <BKP=NKM как вертикальные, а МК=КВ - дано). Из равенства этих треугольников ВР=MN. Но MN - средняя линия треугольника АРС и равна (1/2)*РС. Значит ВР/РС = 1/2. Площади треугольников АВР и АРС, имеющих одинаковую высоту, проведенную из вершины А к стороне ВС (сторонам ВР и РС) относятся как эти стороны. То есть Sabp/Sapc=1/2. Значит Sabp = (1/3)*Sabc. Sbkp = Sabp - Sabk = (1/3)*Sabc - (1/4)*Sabc = (1/12)*Sabc. Тогда Sbkp/Samk = [(1/12)*Sabc]/[(1/4)*Sabc] = 1/3.
ответ: Sbkp/Samk = 1/3.