Доказать, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен половине радиуса описанной окружности
Доказательство:
1) Пусть:
a - сторона правильного треугольника;
h - его высота;
r - радиус окружности, вписанной в треугольник;
R - радиус описанной окружности.
2) Так как все углы правильного треугольника равны 60°, то его высота является катетом, который лежит против угла 60°, и равна произведению гипотенузы (стороны треугольника) на синуса угла 60°:
h = a · sin 60° = а√3/2.
2) В правильном треугольнике все высоты являются медианами и точкой пересечения медиан делятся на отрезки 2 : 1, считая от вершины:
2 · (а√3/2)/3 = а√3/3
1 · (а√3/2)/3 = а√3/6.
3) Первый из указанных отрезков является точкой пересечения срединных перпендикуляров, в силу чего является радиусом описанной окружности:
R = а√3/3
4) Второй отрезок (1/3 часть медианы) - радиус вписанной окружности:
r = а√3/6
5) Найдём, чему равно отношение r : R:
r : R = (а√3/6) : (а√3/3) = 1/6 : 1/3 = 1/6 · 3/1 = 3/6 = 1/2 - что и требовалось доказать.
В прямоугольном треугольнике величина угла A составляет 60°. Из вершины угла A проведена биссектриса AD, которая разбивает противоположный катет на отрезки BD и DC.
1. Докажите, что ΔBCA∼ΔBAD.
2. Найдите отношение BD:DС. ответ запишите в виде отношения чисел.
Решение
1.
Докажем, что треугольник ВСА подобен треугольнику BAD (ΔBCA∼ΔBAD).
Согласно первому признаку подобия треугольников: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
1) В треугольнике ВСА:
∠А = 60° - согласно условию задачи;
∠В = 90° - так как треугольник ВСА является прямоугольным;
∠С = 180 - 90 - 60 = 30°
2) В треугольнике ВАD:
∠В = 90° - так как треугольник ВСА является прямоугольным;
∠DАB = ∠A : 2 = 60 : 2 = 30° - так как, согласно условию задачи, AD является биссектрисой угла А;
∠АDB = 180 - 90 - 30 = 60°/
3) Таким образом, согласно первому признаку подобия треугольников:
ΔBCA∼ΔBAD - что и требовалось доказать
2.
Найдём отношение BD : DС.
1) Так как биссектриса угла А делит противоположную сторону ВС на отрезки ВD и DC, которые пропорциональны соответственно сторонам АВ и АС данного треугольника, то для расчета отношения BD : DС необходимо рассчитать отношение АВ к АС.
2) В треугольнике ВСА катет АВ лежит против угла С = 30 градусам; следовательно, отношение АВ к АС равно:
АВ : АС = 1 : 2.
3) Тогда, согласно теореме о биссектрисе угла треугольника:
См. Доказательство
Объяснение:
Задание:
Доказать, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен половине радиуса описанной окружности
Доказательство:
1) Пусть:
a - сторона правильного треугольника;
h - его высота;
r - радиус окружности, вписанной в треугольник;
R - радиус описанной окружности.
2) Так как все углы правильного треугольника равны 60°, то его высота является катетом, который лежит против угла 60°, и равна произведению гипотенузы (стороны треугольника) на синуса угла 60°:
h = a · sin 60° = а√3/2.
2) В правильном треугольнике все высоты являются медианами и точкой пересечения медиан делятся на отрезки 2 : 1, считая от вершины:
2 · (а√3/2)/3 = а√3/3
1 · (а√3/2)/3 = а√3/6.
3) Первый из указанных отрезков является точкой пересечения срединных перпендикуляров, в силу чего является радиусом описанной окружности:
R = а√3/3
4) Второй отрезок (1/3 часть медианы) - радиус вписанной окружности:
r = а√3/6
5) Найдём, чему равно отношение r : R:
r : R = (а√3/6) : (а√3/3) = 1/6 : 1/3 = 1/6 · 3/1 = 3/6 = 1/2 - что и требовалось доказать.
См. Объяснение
Объяснение:
Задание
В прямоугольном треугольнике величина угла A составляет 60°. Из вершины угла A проведена биссектриса AD, которая разбивает противоположный катет на отрезки BD и DC.
1. Докажите, что ΔBCA∼ΔBAD.
2. Найдите отношение BD:DС. ответ запишите в виде отношения чисел.
Решение
1.
Докажем, что треугольник ВСА подобен треугольнику BAD (ΔBCA∼ΔBAD).
Согласно первому признаку подобия треугольников: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
1) В треугольнике ВСА:
∠А = 60° - согласно условию задачи;
∠В = 90° - так как треугольник ВСА является прямоугольным;
∠С = 180 - 90 - 60 = 30°
2) В треугольнике ВАD:
∠В = 90° - так как треугольник ВСА является прямоугольным;
∠DАB = ∠A : 2 = 60 : 2 = 30° - так как, согласно условию задачи, AD является биссектрисой угла А;
∠АDB = 180 - 90 - 30 = 60°/
3) Таким образом, согласно первому признаку подобия треугольников:
ΔBCA∼ΔBAD - что и требовалось доказать
2.
Найдём отношение BD : DС.
1) Так как биссектриса угла А делит противоположную сторону ВС на отрезки ВD и DC, которые пропорциональны соответственно сторонам АВ и АС данного треугольника, то для расчета отношения BD : DС необходимо рассчитать отношение АВ к АС.
2) В треугольнике ВСА катет АВ лежит против угла С = 30 градусам; следовательно, отношение АВ к АС равно:
АВ : АС = 1 : 2.
3) Тогда, согласно теореме о биссектрисе угла треугольника:
BD : DС = АВ : АС = 1 : 2.
BD : DС = 1 : 2.
ответ: BD : DС = 1 : 2.