Две окружности касаются внешним образом и имеют общую внешнюю касательную. Найдем расстояние между точками касания на прямой.
Отрезки касательных из одной точки равны (синие отрезки). Центры окружностей лежат на биссектрисах углов, образованных касательными. Угол между биссектрисами смежных углов - прямой. Точка касания окружностей лежит на линии центров. Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Таким образом синий отрезок является высотой из прямого угла и равен среднему пропорциональному проекций катетов, √(R1*R2).
Расстояние между точками касания на прямой равно 2√(R1*R2).
1. Построим полное сечение призмы плоскостью BDE1. Т.к. плоскость BDE1 пересекает параллельные плоскости ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 по двум параллельным прямым, то ищем в плоскости A1B1C1D1E1F1 прямую параллельную BD и проходящую через точку E1.
Т.к. четырехугольник A1B1D1E1 - прямоугольник, то A1E1 || B1D1.
Т.к. четырехугольник BDD1B1 - прямоугольник, то BD || B1D1, откуда получаем, что A1E1 || B1D1.
Т.е. полным сечением призмы плоскостью BDE1 будет прямоугольник A1BDE1 (см. рис. 1)
Найдем проекцию прямой CC1 на плоскость A1BDE1. Для этого в плоскости A1B1C1D1E1F1 опустим перпендикуляр C1O1 на отрезок A1E1, а в плоскости ABCDEF опустим перпендикуляр CO на отрезок BD.
Продолжим прямые CC1 и OO1 до пересечения в точке G.
Угол C1GO1 (см. рис. 2) и будет искомым углом между прямой CC1 и плоскостью BDE1. Найдем его.
CO найдем из равнобедренного треугольника BCD, в котором он является высотой проведенной к основанию. Боковые стороны CB = CD = 1. Угол при вершине BCD = 120° (ABCDEF - правильный шестиугольник), а значит ∠DBC = ∠BDC = 30°, откуда CO = CB / 2 = 1/2.
C1O1 = C1H + HO1 = CO + D1E1 = 1/2 + 1 = 3/2
В треугольнике O1OH сторона OH = CC1 = 1, а HO1 = D1E1 = 1, значит он равнобедренный и прямоугольный, откуда ∠HOO1 = 45°
Т.к. ΔHOO1 подобен ΔO1GC1, то ∠O1GC1 = ∠HOO1 = 45°,
т.е. угол между заданной прямой и плоскостью равен 45°
2. Для того, чтобы найти угол между плоскостью CB1D1 и прямой AB, найдем угол между этой плоскостью и прямой C1D1 параллельной прямой AB. (см. рис. 3)
Треугольник CD1B1 - равносторонний, т.к. все его стороны являются диагоналями равных квадратов со стороной 1.
Точка C1 равноудалена от точек C, B1 и D1, а значит в правильной треугольной пирамиде C1CB1D1 (см. рис. 4) проекция точки C1 на основание CB1D1 попадет в центр описанной окружности ΔCB1D1.
В правильном треугольнике CB1D1 все стороны равны (как диагонали квадратов со стороной 1). Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника равен , откуда
Из прямоугольника тругольника C1OD1 найдем синус угла C1D1O, который и будет искомым:
Две окружности касаются внешним образом и имеют общую внешнюю касательную. Найдем расстояние между точками касания на прямой.
Отрезки касательных из одной точки равны (синие отрезки). Центры окружностей лежат на биссектрисах углов, образованных касательными. Угол между биссектрисами смежных углов - прямой. Точка касания окружностей лежит на линии центров. Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Таким образом синий отрезок является высотой из прямого угла и равен среднему пропорциональному проекций катетов, √(R1*R2).
Расстояние между точками касания на прямой равно 2√(R1*R2).
В задаче три пары аналогичных окружностей.
AB+BC=AC => 2√(x*25/16) +2√(9*25/16) =2√(9x) <=> 7√x =15 <=> x=225/49
1. Построим полное сечение призмы плоскостью BDE1. Т.к. плоскость BDE1 пересекает параллельные плоскости ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 по двум параллельным прямым, то ищем в плоскости A1B1C1D1E1F1 прямую параллельную BD и проходящую через точку E1.
Т.к. четырехугольник A1B1D1E1 - прямоугольник, то A1E1 || B1D1.
Т.к. четырехугольник BDD1B1 - прямоугольник, то BD || B1D1, откуда получаем, что A1E1 || B1D1.
Т.е. полным сечением призмы плоскостью BDE1 будет прямоугольник A1BDE1 (см. рис. 1)
Найдем проекцию прямой CC1 на плоскость A1BDE1. Для этого в плоскости A1B1C1D1E1F1 опустим перпендикуляр C1O1 на отрезок A1E1, а в плоскости ABCDEF опустим перпендикуляр CO на отрезок BD.
Продолжим прямые CC1 и OO1 до пересечения в точке G.
Угол C1GO1 (см. рис. 2) и будет искомым углом между прямой CC1 и плоскостью BDE1. Найдем его.
CO найдем из равнобедренного треугольника BCD, в котором он является высотой проведенной к основанию. Боковые стороны CB = CD = 1. Угол при вершине BCD = 120° (ABCDEF - правильный шестиугольник), а значит ∠DBC = ∠BDC = 30°, откуда CO = CB / 2 = 1/2.
C1O1 = C1H + HO1 = CO + D1E1 = 1/2 + 1 = 3/2
В треугольнике O1OH сторона OH = CC1 = 1, а HO1 = D1E1 = 1, значит он равнобедренный и прямоугольный, откуда ∠HOO1 = 45°
Т.к. ΔHOO1 подобен ΔO1GC1, то ∠O1GC1 = ∠HOO1 = 45°,
т.е. угол между заданной прямой и плоскостью равен 45°
2. Для того, чтобы найти угол между плоскостью CB1D1 и прямой AB, найдем угол между этой плоскостью и прямой C1D1 параллельной прямой AB. (см. рис. 3)
Треугольник CD1B1 - равносторонний, т.к. все его стороны являются диагоналями равных квадратов со стороной 1.
Точка C1 равноудалена от точек C, B1 и D1, а значит в правильной треугольной пирамиде C1CB1D1 (см. рис. 4) проекция точки C1 на основание CB1D1 попадет в центр описанной окружности ΔCB1D1.
В правильном треугольнике CB1D1 все стороны равны
(как диагонали квадратов со стороной 1). Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника равен 
, откуда 
Из прямоугольника тругольника C1OD1 найдем синус угла C1D1O, который и будет искомым: