Решение дано для условия: ABCD - трапеция, угол А равен 75, угол D равен 15. M и N- середины AB и CD, а R и L середины ВC и AD. RL=7, MN=15. Найти основания трапеции. Продлим стороны трапеции до их пересечения в точке S. Треугольник ASD - прямоугольный, так как <A+<D=90° (дано). То же самое касается и треугольников BSR и MSK. SL, SK и SR - медианы, проведенная из прямого угла - равны половине гипотенузы, то есть SR=BR=BC/2. Из подобия треугольников BSR и MSK: BR/MK=SR/(SR+RK) или BR/7,5=BR/(BR+3,5). Отсюда BR²+3,3BR=7,6BR или BR(BR-4)=0. Отсюда BR=0 (не удовлетворяет условию). BR=4. ВС=2BR = 8. MN=(BC+AD)/2, отсюда ВС+АD=30. AD=30-8=22. ответ: ВС=8, AD=22.
Если в задании не ошибка, что R и L середины AC и AD, то решение такое.
Обозначим основание ВС за х, тогда АД = 15*2 - х = 30 - х (по свойству средней линии MN трапеции). Из вершины С проведём 2 отрезка: - СЕ параллельно АВ, - СН как высоту к АД. Отрезок RL по условию задания является средней линией треугольника АСД. Поэтому сторона СД = 2*7 = 14. Из треугольника ЕСД по теореме синусов находим СЕ = АВ. АВ = СЕ = (14*sin 15°)/sin 75° = (14* 0,258819)/ 0,965926 = 3,751289. По построению ЕД = 30 - х - х = 30 - 2х. Угол ЕСН равен 90°-75° = 15°. Тогда ЕД = ЕН + НД = CE*sin 15° + СД*cos 15° = = 3,751289* 0,258819 + 14* 0,965926 = 14,49387. Приравняем значения ЕД: 30 - 2х = 14,49387. Отсюда находим длину верхнего основания ВС: х = (30 - 14,49387)/2 = 7,753067. Нижнее основание АД = 30 - 7,753067 = 22,24693.
Найти основания трапеции.
Продлим стороны трапеции до их пересечения в точке S.
Треугольник ASD - прямоугольный, так как <A+<D=90° (дано).
То же самое касается и треугольников BSR и MSK.
SL, SK и SR - медианы, проведенная из прямого угла - равны половине гипотенузы, то есть SR=BR=BC/2.
Из подобия треугольников BSR и MSK:
BR/MK=SR/(SR+RK) или BR/7,5=BR/(BR+3,5).
Отсюда BR²+3,3BR=7,6BR или BR(BR-4)=0. Отсюда
BR=0 (не удовлетворяет условию).
BR=4. ВС=2BR = 8. MN=(BC+AD)/2, отсюда ВС+АD=30.
AD=30-8=22.
ответ: ВС=8, AD=22.
Обозначим основание ВС за х, тогда АД = 15*2 - х = 30 - х (по свойству средней линии MN трапеции).
Из вершины С проведём 2 отрезка:
- СЕ параллельно АВ,
- СН как высоту к АД.
Отрезок RL по условию задания является средней линией треугольника АСД. Поэтому сторона СД = 2*7 = 14.
Из треугольника ЕСД по теореме синусов находим СЕ = АВ.
АВ = СЕ = (14*sin 15°)/sin 75° = (14* 0,258819)/ 0,965926 = 3,751289.
По построению ЕД = 30 - х - х = 30 - 2х.
Угол ЕСН равен 90°-75° = 15°.
Тогда ЕД = ЕН + НД = CE*sin 15° + СД*cos 15° =
= 3,751289* 0,258819 + 14* 0,965926 = 14,49387.
Приравняем значения ЕД: 30 - 2х = 14,49387.
Отсюда находим длину верхнего основания ВС:
х = (30 - 14,49387)/2 = 7,753067.
Нижнее основание АД = 30 - 7,753067 = 22,24693.