Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.
AB и CD - хорды, перпендикулярны прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей.
AB||CD
Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О₁.
Проведем радиусы r и R в точки касания.
Проведем к О₁D отрезок ОК||BD.
Т.к. r ||R, и оба перпендикулярны ВD, то ОКВD- прямоугольник.
ОK=BD
О₁К=R-r=45-36=9
OO₁=R+r=45+36=81
Из ∆ OКО₁ по т.Пифагора
OК=√(81²-9²)=√6480=36√5
∠HBD=∠KOO₁- заключены между взаимно параллельными сторонами.
Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.
AB и CD - хорды, перпендикулярны прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей.
AB||CD
Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О₁.
Проведем радиусы r и R в точки касания.
Проведем к О₁D отрезок ОК||BD.
Т.к. r ||R, и оба перпендикулярны ВD, то ОКВD- прямоугольник.
ОK=BD
О₁К=R-r=45-36=9
OO₁=R+r=45+36=81
Из ∆ OКО₁ по т.Пифагора
OК=√(81²-9²)=√6480=36√5
∠HBD=∠KOO₁- заключены между взаимно параллельными сторонами.
∆ OKO₁ ~ ∆ BHD
cos∠KOO₁=OK/OO₁
cos∠HBD=cos∠KOO₁=(36√5):9=(4√5):9
BH=BD•cos∠HBD=(36√5)•(4√5):9=80 (ед. длины)
<ВАР=30⁰, <APB = 60⁰ в треугольнике АВР. Смежный угол <APC=120⁰
Треугольник АРС - равнобедренный (АР=РС по доказанному), РО - высота, медиана, биссектриса, т.е. <АРО=<СРО=60⁰, <РАО=30⁰ (сумма углов треугольника равна 180⁰)
<ВАД=90⁰, <ВАР=30⁰, <РАС=30⁰ <ОАТ=90-(30+30)=30⁰, значит <РАТ=60⁹
Получили, треугольник АРТ - равносторонний, т.к. <P=<A=<t=60⁰
Значит, РТ=АР=АТ=8см, Р(АРСТ)=8*4=32(см)
ответ:32см