ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Точка Р ділить його ребро CD у відношенні
CP:PD = 1:2. Побудувати переріз куба площиною, яка проходить
через точку Р і паралельна площині АА 1 D 1 . Обчисліть площу
перерізу, якщо ребро куба дорівнює 8 см.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Точка Р делит его ребро CD в отношении
CP: PD = 1: 2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей
через точку Р и параллельна плоскости АА 1 D 1. Вычислите площадь
сечения, если ребро куба равно 8 см.

Компоненты векторов:

AB = (-2-3;0-6,5-2) = (-5;-6,3)

AC = (-4-3;5-6,9-2) = (-7;1,7)

С одной стороны скалярное произведение пары векторов AB и AC

s = |AB|*|AC|*cos(a), где a - искомый угол между ними, а длины векторов можно определить через корень из суммы из координатных компонент:

|AB| = корень((-5)^2+(-6)^2+3^2) = корень(25+36+9) = корень(70)

|AС| = корень((-7)^2+(-1)^2+7^2) = корень(49+1+49) = корень(99)

то есть

s = корень(70)*корень(99)*cos(a)

или

cos(a) = s/корень(70*99)

А с другой - скалярное произведения векторов заданных координатами нетрудно определить суммой произведения их координатных компонент:

s = -5*(-7) + (-6)*1 + 3*7 = 35-6+21 = 50

Таким образом искомый угол

a = arccos(50/корень(70*99)) или примерно arccos(0.6) или около 53 градусов

Рассмотрим треугольник АВS, который является частью (половиной) осевого сечения конуса. Сторона АВ явлется радиусом основания конуса. Rк = Dк / 2 = 12см / 2 = 6см; По условию угол ASB = 60°, тогда осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник CSB в котором SA - высота, медиана и биссектриса, проведенные из точки S к стороне АВ; CD - высота, медиана и биссектриса, проведенные из точки С к стороне BS; BN - высота, медиана и биссектриса, проведенные из точки В к стороне CS. Отсюда SA = CD = BN = CB √3 / 2 = 12см * 1,73 / 2 = 10,38 см. Rосн = 6см; высота AS = 10,38 см.