1) Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒ NC:СВ=6:3, и MC:СА=8:4. Одна из формул площади треугольника S=a•b•sinα•1/2, где а и b - стороны, α- угол между ними. Sin45°=√2/2, Тогда Ѕ(ACN)=6•4•√2/2=6√2. Медиана делит площадь треугольника пополам, три медианы делят его на 6 равновеликих треугольника. S(MNK)=6•Ѕ(ACN)=36√2 (ед. площади)
2) В ∆ АЕС по теореме синусов АЕ:sin∠С=АС:sin∠АЕC. Сумма углов треугольника 180°. В ∆ АВС ∠С =180°-(α+ β). ∠АЕС=180°-γ. ⇒ m:sin(180°-α- β)= =AC:sin(180°-γ), откуда АС=m•sin(180*-γ)/sin(180*-α-β).
3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. ⇒ В треугольнике МNP отрезок МО - медиана. Формула медианы произвольного треугольника М=(√(2a²+2b²-c²):2, где а и b - стороны, с - сторона, которую медиана делит. ⇒ МС=2МО=√(32+72-28)=2√19 ед. длины.
Или
Из ∆ МNP по т.косинусов NP²=MN²+MP²-2•MN•NP•cosNMP ⇒ MP²=16+36-48•cosNMP ⇒ cosNMP=(28-52):(-48)=1/2
По т.косинусов МК²= MN²+NK²-(-2•MN•NK•cos∠MNK). Сумма соседних углов параллелограмма 180° (т.к. МР||NK, MN - секущая, угол NMP и угол MNK- внутренние односторонние). ⇒cosMNK= - cosNMP ⇒ МК=√(52+24)=2√19 (ед. длины)
1) Если в треугольнике АВС даны не векторы, а координаты его вершин А(10;-2;8) В(8;0;7) С (10;2;8), то находим длины сторон: АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= √9 = 3, BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) =√9 = 3, AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √16 = 4. Периметр равен 3+3+4 = 10.
3. Если даны координаты точек: А(2;4;5) В(-3;2;2) С(-1;0;3), то вектор СА = (2+1=3; 4-0=4; 5-3=2) = (3; 4; 2), вектор ВС = (-1+3=2; 0-2=-2; 3-2=1) = (2; -2; 1).
Скалярное произведение а*c=ВС*СА a · c = ax · cx + ay · cy + az · cz = 6 - 8 + 2 = 0. Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны.
1) Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒ NC:СВ=6:3, и MC:СА=8:4. Одна из формул площади треугольника S=a•b•sinα•1/2, где а и b - стороны, α- угол между ними. Sin45°=√2/2, Тогда Ѕ(ACN)=6•4•√2/2=6√2. Медиана делит площадь треугольника пополам, три медианы делят его на 6 равновеликих треугольника. S(MNK)=6•Ѕ(ACN)=36√2 (ед. площади)
2) В ∆ АЕС по теореме синусов АЕ:sin∠С=АС:sin∠АЕC. Сумма углов треугольника 180°. В ∆ АВС ∠С =180°-(α+ β). ∠АЕС=180°-γ. ⇒ m:sin(180°-α- β)= =AC:sin(180°-γ), откуда АС=m•sin(180*-γ)/sin(180*-α-β).
3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. ⇒ В треугольнике МNP отрезок МО - медиана. Формула медианы произвольного треугольника М=(√(2a²+2b²-c²):2, где а и b - стороны, с - сторона, которую медиана делит. ⇒ МС=2МО=√(32+72-28)=2√19 ед. длины.
Или
Из ∆ МNP по т.косинусов NP²=MN²+MP²-2•MN•NP•cosNMP ⇒ MP²=16+36-48•cosNMP ⇒ cosNMP=(28-52):(-48)=1/2
По т.косинусов МК²= MN²+NK²-(-2•MN•NK•cos∠MNK). Сумма соседних углов параллелограмма 180° (т.к. МР||NK, MN - секущая, угол NMP и угол MNK- внутренние односторонние). ⇒cosMNK= - cosNMP ⇒ МК=√(52+24)=2√19 (ед. длины)
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= √9 = 3,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) =√9 = 3,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √16 = 4.
Периметр равен 3+3+4 = 10.
2. Векторы: a(2;-4;5) b(4;-3;5).
Находим модули векторов:
|a| = √(4+16+25) = √45 = 3√5,
|b| √(16+9+25) = √50 = 5√2.
cos(a∧b) = (2*4+(-4)*(-3)+5*5)/(√45*√50) = (8+12+25)/√2250 =
= 45/(15√10) = 3/√10 ≈ 0,948683.
3. Если даны координаты точек: А(2;4;5) В(-3;2;2) С(-1;0;3),
то вектор СА = (2+1=3; 4-0=4; 5-3=2) = (3; 4; 2),
вектор ВС = (-1+3=2; 0-2=-2; 3-2=1) = (2; -2; 1).
Скалярное произведение а*c=ВС*СА
a · c = ax · cx + ay · cy + az · cz = 6 - 8 + 2 = 0.
Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны.