Мне проще эту задачу было решить с тригонометрии... но, получив "красивый" ответ --- угол равен 45°, захотелось найти более простое решение (ведь не указано для какого класса решается задача и, возможно, тригонометрия автору еще не известна))) не знаю--получилось ли проще... т.к. один данный угол является половиной другого, то очень хочется связать их в один треугольник... если провести биссектрису угла в 30°, то получим равнобедренный треугольник с углами при основании по 15°, в нем хочется построить высоту... но тогда и к биссектрисе провести перпендикуляр и получим еще один равнобедренный треугольник с углом при вершине 30°))) осталось рассмотреть получившиеся треугольники... один из них (выделила желтым цветом) окажется равносторонним... другой (прямоугольный) окажется равнобедренным... (ярко желтые уголки--по 45°)
В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P и K - середина AB и BC соответственно. A₁C = AC₁. Найдите угол между прямыми DD₁ и PK ------------------- Все ребра параллелепипеда равны и параллельны. ⇒ Диагональное сечение АСС₁А₁- параллелограмм. Диагонали АС₁ и А₁С равны по условию. Следовательно, АСС₁А₁ - прямоугольник ( по признаку). Если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. РК лежит в плоскости основания параллелепипеда, DD₁ эту плоскость пересекает,⇒ они скрещивающиеся. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку. ВР=РА, ВК=КСКР - средняя линия треугольника СВА ⇒ АС||КР Все ребра параллелепипеда параллельны между собой по определению. Проведем через точку пересечения АС₁ и СА₁ прямую МН || АА₁. Ребро АА₁||DD₁⇒ МН||DD₁. Т.к. АСС₁А₁ прямоугольник, МН перпендикулярна АС. Угол Между МН и АС прямой ⇒ угол между прямыми DD₁ и PK равен 90º
но, получив "красивый" ответ --- угол равен 45°,
захотелось найти более простое решение
(ведь не указано для какого класса решается задача и, возможно, тригонометрия автору еще не известна)))
не знаю--получилось ли проще...
т.к. один данный угол является половиной другого,
то очень хочется связать их в один треугольник...
если провести биссектрису угла в 30°, то
получим равнобедренный треугольник с углами при основании по 15°,
в нем хочется построить высоту...
но тогда и к биссектрисе провести перпендикуляр и получим
еще один равнобедренный треугольник с углом при вершине 30°)))
осталось рассмотреть получившиеся треугольники...
один из них (выделила желтым цветом) окажется равносторонним...
другой (прямоугольный) окажется равнобедренным...
(ярко желтые уголки--по 45°)
-------------------
Все ребра параллелепипеда равны и параллельны. ⇒
Диагональное сечение АСС₁А₁- параллелограмм.
Диагонали АС₁ и А₁С равны по условию.
Следовательно, АСС₁А₁ - прямоугольник ( по признаку).
Если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
РК лежит в плоскости основания параллелепипеда, DD₁ эту плоскость пересекает,⇒ они скрещивающиеся.
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
ВР=РА, ВК=КСКР - средняя линия треугольника СВА ⇒
АС||КР
Все ребра параллелепипеда параллельны между собой по определению. Проведем через точку пересечения АС₁ и СА₁ прямую МН || АА₁.
Ребро АА₁||DD₁⇒
МН||DD₁.
Т.к. АСС₁А₁ прямоугольник, МН перпендикулярна АС.
Угол Между МН и АС прямой ⇒
угол между прямыми DD₁ и PK равен 90º