Абсд - трапеция. Радиусы окружностей, описанных около треугольников абс, бсд и асд равны р1, р2 и р3 соответственно. Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника абд

p1p2/p3

Объяснение:

В трапеции ABCD:

1)∠BCA=∠CAD=α и ∠DBC=∠BDA=β как накрест лежащие.

2)По теореме синусов:

для ΔACD: CD/sinα=2p3, откуда sinα=CD/2p3

для ΔABC: AB/sinα=2p1, откуда sinα=AB/2p1

тогда sinα=CD/2p3=AB/2p1, т.е. CD/AB=2p3/2p1=p3/p1

для ΔBCD: CD/sinβ=2p2, откуда sinβ=CD/2p2

для ΔABD: AB/sinβ=2p4, где p4 - радиус окружности, описанной около ΔABD, откуда sinβ=AB/2p4

тогда sinβ=CD/2p2=AB/2p4, т.е. CD/AB=2p2/2p4=p2/p4

Но ранее мы уже написали, что CD/AB=p3/p1, тогда p3/p1=p2/p4, откуда p4=p1p2/p3.