AK перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Расстояние от АК до вершин дано, найти АК. Решите БЕЗ теоремы о трёх перпендикулярах (я думала провести диагональ ВD)
Рассмотрим плоскость ABD (по А1 существует плоскость ABD). ME- средняя линия треугольника ABD по определению. По А1, BK - середина треугольника BDC (по определению). PK||BD, PK=DB÷2 => PK||DE (по теореме о параллельных прямых). PK=ME=DB%2. По А1: существует такая плоскость MPKE-параллелограм (по первому признаку параллелограмма). MK, De-диагональ, MK=PE (по условию). По А1: MP-средняя линия треугольника ABC. Треугольник EMP-прямоугольный => по теореме Пифагора найдём ME^2=EP^2-MP^2=10^2 - 6^2 =8^2 => ME=8, тогда BD=2*8=16. ОТВЕТ: BD=16
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. AOD - прямоугольный треугольник. ОР - высота из прямого угла в треугольнике AOD. ОР=√(АР*РD)=√(6√3*2√3)=6см. По Пифагору АО=√(АР²+ОР²)=√(108+36)=12см. R=AJ=JO=JP = АО/2 = 6см. Площадь круга Sк=π*R²=36π. В прямоугольном треугольнике АРО катет ОР равен половине гипотенузы АО, значит <PAO=30°, <РАК=60° (так как АО - биссектриса <PAK) => дуга РОК=120°. <PJK=120°(центральный угол, опирающийся на дугу РОК). РН=0,5*АР=3√3см (катет против угла 30°). AH=√(АР²-РH²)=√(108-27)=9см. Площадь треугольника АКР равна Sapk=AH*PH=9*3√3=27√3см². Площадь сегмента КОР равна Skop=(R²/2)*(π*α/180 -Sinα) - формула. В нашем случае α=<PKJ =120°. Skop=(36/2)*(π*120/180 -√3/2) Skop=(12π-9√3)см². Искомая площадь равна S=Sк-Sapk-Skop = 36π-27√3-12π+9√3 = (24π-18√3)см².
Рассмотрим плоскость ABD (по А1 существует плоскость ABD). ME- средняя линия треугольника ABD по определению. По А1, BK - середина треугольника BDC (по определению). PK||BD, PK=DB÷2 => PK||DE (по теореме о параллельных прямых). PK=ME=DB%2. По А1: существует такая плоскость MPKE-параллелограм (по первому признаку параллелограмма). MK, De-диагональ, MK=PE (по условию). По А1: MP-средняя линия треугольника ABC. Треугольник EMP-прямоугольный => по теореме Пифагора найдём ME^2=EP^2-MP^2=10^2 - 6^2 =8^2 => ME=8, тогда BD=2*8=16. ОТВЕТ: BD=16
AOD - прямоугольный треугольник.
ОР - высота из прямого угла в треугольнике AOD.
ОР=√(АР*РD)=√(6√3*2√3)=6см.
По Пифагору АО=√(АР²+ОР²)=√(108+36)=12см.
R=AJ=JO=JP = АО/2 = 6см.
Площадь круга Sк=π*R²=36π.
В прямоугольном треугольнике АРО катет ОР равен половине
гипотенузы АО, значит <PAO=30°,
<РАК=60° (так как АО - биссектриса <PAK) => дуга РОК=120°.
<PJK=120°(центральный угол, опирающийся на дугу РОК).
РН=0,5*АР=3√3см (катет против угла 30°).
AH=√(АР²-РH²)=√(108-27)=9см.
Площадь треугольника АКР равна
Sapk=AH*PH=9*3√3=27√3см².
Площадь сегмента КОР равна
Skop=(R²/2)*(π*α/180 -Sinα) - формула.
В нашем случае α=<PKJ =120°.
Skop=(36/2)*(π*120/180 -√3/2)
Skop=(12π-9√3)см².
Искомая площадь равна
S=Sк-Sapk-Skop = 36π-27√3-12π+9√3 = (24π-18√3)см².