Рассмотрим треугольники ABE (красный) и CBD (жёлтый).
∠BEA = ∠BDC = 90° (так как AE и CD — высоты △ABC).
⟹ треугольники ABE и CBD прямоугольные.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В треугольнике ABE ∠BAE = 90° — ∠B.
В треугольнике CBD ∠BCD = 90° — ∠B.
⟹ ∠BAE = ∠BCD, ∠B — общий,
BA = BC (как боковые стороны равнобедренного △ABC)
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
⟹ треугольники ABE и CBD равны.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE = CD.
Треугольник ACB равен треугольнику BCA, по второму признаку равенства треугольников, так как AB = BA, ∠ A = ∠ B, ∠ B = ∠ A. Следовательно, AC = BC. Получаем, что треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.
∠BEA = ∠BDC = 90° (так как AE и CD — высоты △ABC).
⟹ треугольники ABE и CBD прямоугольные.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В треугольнике ABE ∠BAE = 90° — ∠B.
В треугольнике CBD ∠BCD = 90° — ∠B.
⟹ ∠BAE = ∠BCD, ∠B — общий,
BA = BC (как боковые стороны равнобедренного △ABC)
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
⟹ треугольники ABE и CBD равны.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE = CD.
Что и требовалось доказать.
признак равнобедренного треугольника
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
признак равнобедренного треугольника
Доказательство.
Пусть треугольник ABC такой, что ∠ A = ∠ B. Докажем что он равнобедренный.
доказательство признака равнобедренного треугольника
Треугольник ACB равен треугольнику BCA, по второму признаку равенства треугольников, так как AB = BA, ∠ A = ∠ B, ∠ B = ∠ A. Следовательно, AC = BC. Получаем, что треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.