анечка петрусь и николай независимо друг от друга нарисовали по одному равнобедренном треугольнике abc, все углы которых измеряются целым числом градусов. оказалось, что основы ac этих треугольников равные для каждого из них на промены bc существует такая точка e, что be = ac, а угол aec также измеряется целым числом градусив. найдите ответ
а) все три нарисованные треугольника равны между собой
b) среди них найдутся принайни два уровня треугольника
а)
б)
в)
Объяснения:
Пусть К, Н и Р - середины сторон АВ, ВС и АС соответственно, тогда
АН⊥ВС, ВР⊥АС, СК⊥АВ (треугольник правильный, медианы, высоты и биссектрисы совпадают).
Центр О правильного треугольника АВС равноудален от вершин и от сторон треугольника, т.е.
АО = ВО = СО, КО = НО = РО, а эти отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость треугольника, значит
МА = МВ = МС - расстояния от точки М до вершин
и МК = МН = МР - расстояния от точки М до сторон (МК⊥АВ, МН⊥ВС, МР⊥АС по теореме о трех перпендикулярах).
а) ΔМОС: ∠МОС = 90°,
___
____
Из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора:
___
____
б) СО - радиус описанной окружности. Тогда длина окружности:
_____
в)
Площадь правильного треугольника АВС:
ответ:Краткие решения:
1) AB = CD (св-во параллелограмма), ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (определение прямоугольника). ∠ABN = ∠MCD = 45° (половины углов 90°). Значит, треугольники ABN, MCD – прямоугольные равнобедренные с равными катетами, поэтому эти треугольники равны и BN = CM
2) ∠B = 90°, из треугольника ABC: ∠ACB = 180° - 90° - 55° = 35°. BO = OC (св-во прямоугольника), значит, ∠CBO = ∠ACB = 35°, ∠COD = ∠CBO + ∠ACB = 70° (внешний угол к треугольнику BOC).
3) AO = OB, ∠OAB = ∠OCD = 60° (накрест лежащие углы), тогда треугольник AOB – равносторонний, BE – медиана. AO = 2OE = 8 (определение медианы), AC = 2AO = 16 (св-во параллелограмма).
4) ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, тогда 4 маленьких треугольника равны по двум сторонам и углу между ними, откуда A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁, A₁B₁C₁D₁ – ромб.