Апофема правльной восьмиугольной пирамиды равна 10, а площадь круга, вписанного в основание пирамиды равна 36пи. найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
1. Начнем с определения понятия "апофема". Апофема — это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до центра основания, перпендикулярно плоскости основания. Также, если вспомнить, как выглядит восьмиугольная пирамида, то можно заметить, что апофема соединяет вершину со серединой любой стороны основания.
2. Согласно условию задачи, апофема равна 10. Обозначим это значение буквой "a".
3. Теперь нам нужно найти радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Обозначим его буквой "r".
4. Зная радиус шара, мы можем найти объем и площадь поверхности шара. Но для этого нам сначала нужно найти высоту пирамиды, которую мы обозначим буквой "h".
5. Заметим, что апофема является высотой равнобедренного треугольника, основанием которого служит сторона восьмиугольника. Так как восьмиугольник равнобедренный, то этот треугольник также равнобедренный.
6. В дальнейшем используем формулу для вычисления площади равнобедренного треугольника. Высоту h можно найти, используя формулу:
h = sqrt(a^2 - s^2),
где a - апофема, s - сторона восьмиугольника.
7. Так как восьмиугольник равнобедренный, то сторону s можно найти, разделив периметр восьмиугольника на 8.
8. Периметр восьмиугольника можно найти, зная длину стороны основания круга, вписанного в пирамиду, а также радиус этого круга. С помощью формулы периметра многоугольника:
P = 8s,
где P - периметр восьмиугольника, s - сторона восьмиугольника.
9. Подставляем известные значения в формулы:
P = 8 * 2 * π * r = 16πr,
P = 16πr.
10. Так как площадь круга, вписанного в пирамиду, равна 36π, можно найти радиус этого круга через формулу площади круга:
Площадь круга = πr^2 = 36π,
r^2 = 36,
r = 6.
11. Теперь мы знаем радиус основания вписанного круга - он равен 6.
12. Вернемся к формуле для нахождения высоты пирамиды:
h = sqrt(a^2 - s^2),
h = sqrt(10^2 - 6^2) = sqrt(64) = 8.
13. Теперь, когда у нас есть высота пирамиды и радиус основания, мы можем найти объем пирамиды:
V = (1/3) * Площадь основания * H,
где V - объем пирамиды, H - высота пирамиды.
У нас восьмиугольная пирамида, поэтому площадь основания - это площадь восьмиугольника, который можно разбить на равнобедренные треугольники.
S = (ap)/2 * 8,
где S - площадь восьмиугольника, p - периметр основания восьмиугольника.
Подставляем значения:
S = (10 * s)/2 * 8,
S = 80s.
Теперь у нас есть все данные для вычисления объема пирамиды:
V = (1/3) * 80s * 8,
V = (8/3) * 80s.
14. Однако мы еще не знаем значение стороны восьмиугольника s. Но мы можем найти ее, зная радиус основания и используя формулу для нахождения длины стороны многоугольника, вписанного в окружность:
s = 2r * sin(π/n),
где n - количество сторон многоугольника.
В нашем случае количество сторон равно 8:
s = 12 * sin(π/8) = 12 * sin(22.5°).
15. Подставляем наконец все известные значения в формулу для объема пирамиды:
V = (8/3) * 80 * 12 * sin(22.5°).
16. Теперь остается только подсчитать значение объема пирамиды.
Это подробное решение должно помочь школьнику понять все шаги и логику решения этой задачи. Если остались дополнительные вопросы или понадобится оказать дополнительную помощь, я всегда готов помочь!
1. Начнем с определения понятия "апофема". Апофема — это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до центра основания, перпендикулярно плоскости основания. Также, если вспомнить, как выглядит восьмиугольная пирамида, то можно заметить, что апофема соединяет вершину со серединой любой стороны основания.
2. Согласно условию задачи, апофема равна 10. Обозначим это значение буквой "a".
3. Теперь нам нужно найти радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Обозначим его буквой "r".
4. Зная радиус шара, мы можем найти объем и площадь поверхности шара. Но для этого нам сначала нужно найти высоту пирамиды, которую мы обозначим буквой "h".
5. Заметим, что апофема является высотой равнобедренного треугольника, основанием которого служит сторона восьмиугольника. Так как восьмиугольник равнобедренный, то этот треугольник также равнобедренный.
6. В дальнейшем используем формулу для вычисления площади равнобедренного треугольника. Высоту h можно найти, используя формулу:
h = sqrt(a^2 - s^2),
где a - апофема, s - сторона восьмиугольника.
7. Так как восьмиугольник равнобедренный, то сторону s можно найти, разделив периметр восьмиугольника на 8.
8. Периметр восьмиугольника можно найти, зная длину стороны основания круга, вписанного в пирамиду, а также радиус этого круга. С помощью формулы периметра многоугольника:
P = 8s,
где P - периметр восьмиугольника, s - сторона восьмиугольника.
9. Подставляем известные значения в формулы:
P = 8 * 2 * π * r = 16πr,
P = 16πr.
10. Так как площадь круга, вписанного в пирамиду, равна 36π, можно найти радиус этого круга через формулу площади круга:
Площадь круга = πr^2 = 36π,
r^2 = 36,
r = 6.
11. Теперь мы знаем радиус основания вписанного круга - он равен 6.
12. Вернемся к формуле для нахождения высоты пирамиды:
h = sqrt(a^2 - s^2),
h = sqrt(10^2 - 6^2) = sqrt(64) = 8.
13. Теперь, когда у нас есть высота пирамиды и радиус основания, мы можем найти объем пирамиды:
V = (1/3) * Площадь основания * H,
где V - объем пирамиды, H - высота пирамиды.
У нас восьмиугольная пирамида, поэтому площадь основания - это площадь восьмиугольника, который можно разбить на равнобедренные треугольники.
S = (ap)/2 * 8,
где S - площадь восьмиугольника, p - периметр основания восьмиугольника.
Подставляем значения:
S = (10 * s)/2 * 8,
S = 80s.
Теперь у нас есть все данные для вычисления объема пирамиды:
V = (1/3) * 80s * 8,
V = (8/3) * 80s.
14. Однако мы еще не знаем значение стороны восьмиугольника s. Но мы можем найти ее, зная радиус основания и используя формулу для нахождения длины стороны многоугольника, вписанного в окружность:
s = 2r * sin(π/n),
где n - количество сторон многоугольника.
В нашем случае количество сторон равно 8:
s = 12 * sin(π/8) = 12 * sin(22.5°).
15. Подставляем наконец все известные значения в формулу для объема пирамиды:
V = (8/3) * 80 * 12 * sin(22.5°).
16. Теперь остается только подсчитать значение объема пирамиды.
Это подробное решение должно помочь школьнику понять все шаги и логику решения этой задачи. Если остались дополнительные вопросы или понадобится оказать дополнительную помощь, я всегда готов помочь!