АС - диагональ параллелограмма ABCD. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС в точке К, а биссектриса угла ACD пересекает сторону AD в точке Р. Докажите, что АРСК - параллелограмм.

Ставим ножку циркуля в вершину О угла и проводим полуокружность, пересекающую стороны угла в т.А и В. 

ОА=ОВ=R. Соединим точки А и В. Треугольник АОВ равнобедренный. 

Из т. А и В как из центра раствором циркуля R больше половины расстояния АВ проводим полуокружности. 

Точки их пересечения и вершина угла лежат на одной прямой. Соединяем их.   

Для окружностей МС - общая хорда, АВ соединяет их радиусы. АВ и МС взаимно перпендикулярны (свойство).⇒ ОН - высота равнобедренного треугольника, следовательно, по свойству высоты равнобедренного треугольника она же – его биссектриса. Биссектриса ОС построена.

Треугольник АВС равносторонний, АВ=ВС=АС, площадьАВС=108*корень3=АС в квадрате*корень3/4, 432*корень3=АВ в квадрате*корень3, АВ=12*корень3,

проводим высоту=медиане=биссектрисе АН на ВС, АН=АС*корень3/2=12*корень3*корень3/2=18, О-центр треугольника-пересечение высот =медиан=биссектрис, КО перпендикуляр к плоскости треугольника=8, проводим КН , треугольник КОН прямоугольный, 

ОН=1/3АН (медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/1 начиная от вершины), ОН=18/3=6, 
КН=корень(КО в квадрате+ОН в квадрате)=корень(64+36)=10 - искомое рнасстояние