Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам.
∆ ВОС в основании - прямоугольный равнобедренный.
МН⊥ВС. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах ОН ⊥ ВС, ⇒ ОН — высота и медиана ∆ ВОС. По свойству медианы ОН=BH=CH.
ОН=√(МН²-МО²)=√(225-144)=√81=9
BH=OH=9
MB=√(MH²+BH²)=√(225+81)=√306=3√34
№2
Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы ( значит, равен и медиане).
Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна 10 см (египетский треугольник).
Тогда высота МН ( и медиана ) ∆ АМВ=АВ=10 см. ВН=АН=5 см
АМ= √(MH²+AH²)=√(100+25)=5√5 см
№3.
В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, угол С=90°, АС=ВС=6 см. Высота пирамиды - третье из смежных ребер=8 см.
Площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней.
S осн=АС•BC:2=18 см²
Грани АМС=ВМС по равенству катетов.
S ∆ AMC=S ∆ BMC=6•8:2=24 см²
S AMB=MH•AB:2
AB=AC:sin45°=6√2
CH высота и медиана ∆ АСВ=АВ:2=3√2
Высота MH большей боковой грани S=√(CH*+MH*)=√(18+64)=√82
S∆AMB=6√2•√82=6√164=12√41
S полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²
№4
S полн=Sбок+Sосн
Боковые грани этой правильной пирамиды равны. Обозначим её МАВС.
МН- высота и медиана боковой грани. АН=ВН=6 см
∆ АМВ - равнобедренный. Апофема МН=√( АМ²-АН²)=√64=8 см
Sбок=3•МН•АВ:2=144 см²
Sосн=АВ²•√3:4=36√3 см²
Sполн=144+36√3=36(4+√3) см²
№5
Параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.
Обозначим большую сторону основания АВ, меньшую - ВС, высоту АА1.
Угол А1ВА=60° (дано)
А1А=АВ•tg60°=5√3
Площадь основания АВ•BC=5•3=15 Оснований два. S=2•15=30 см²
Площадь боковой пов-сти АА1•2(AB+BC)=5√3•16=80√3 см²
1. Дано: угол 2 = угол 1 + 34°; Найти: угол 3. Решение: Угол 3 и угол 1 - соотвественные углы при параллельных прямых a и b и секущей c. Следовательно, угол 3 = углу 1. Углы 1 и 2 - односторонние при параллельных прямых a и b и секущей c⇒ угол 1 + угол 2 = 180°. Но, по условию, угол 2 = угол 1 + 34°. Подставим это выражение: угол 1 + угол 1 + 34° = 180°. Отсюда угол 1 = 73°. Значит, угол 3 = 73°. ответ: 73°.
2. Дано: ΔАВС, угол С = 90°, CD || AB, угол DCB = 37°. Найти: угол А, угол В. Рисунок к задаче - в приложении к ответу. Решение: Угол DCB и угол B - накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BC ⇒ угол DCB = углу B. Т.к. угол DCB = 37°, то угол B = 37°. Угол A + угол В + угол ACB = 180° (по теореме о сумме углов треугольника), следовательно, угол A = 180° - угол В - угол ACB. Угол А = 180° - 90° - 37° = 53°. ответ: угол А = 53°, угол В = 37°.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники, вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей.
Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, МН - апофема ( высота боковой грани).
Апофема делит сторону основания пополам. ВН=СН.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам.
∆ ВОС в основании - прямоугольный равнобедренный.
МН⊥ВС. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах ОН ⊥ ВС, ⇒ ОН — высота и медиана ∆ ВОС. По свойству медианы ОН=BH=CH.
ОН=√(МН²-МО²)=√(225-144)=√81=9
BH=OH=9
MB=√(MH²+BH²)=√(225+81)=√306=3√34
№2
Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы ( значит, равен и медиане).
Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна 10 см (египетский треугольник).
Тогда высота МН ( и медиана ) ∆ АМВ=АВ=10 см. ВН=АН=5 см
АМ= √(MH²+AH²)=√(100+25)=5√5 см
№3.
В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, угол С=90°, АС=ВС=6 см. Высота пирамиды - третье из смежных ребер=8 см.
Площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней.
S осн=АС•BC:2=18 см²
Грани АМС=ВМС по равенству катетов.
S ∆ AMC=S ∆ BMC=6•8:2=24 см²
S AMB=MH•AB:2
AB=AC:sin45°=6√2
CH высота и медиана ∆ АСВ=АВ:2=3√2
Высота MH большей боковой грани S=√(CH*+MH*)=√(18+64)=√82
S∆AMB=6√2•√82=6√164=12√41
S полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²
№4
S полн=Sбок+Sосн
Боковые грани этой правильной пирамиды равны. Обозначим её МАВС.
МН- высота и медиана боковой грани. АН=ВН=6 см
∆ АМВ - равнобедренный. Апофема МН=√( АМ²-АН²)=√64=8 см
Sбок=3•МН•АВ:2=144 см²
Sосн=АВ²•√3:4=36√3 см²
Sполн=144+36√3=36(4+√3) см²
№5
Параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.
Обозначим большую сторону основания АВ, меньшую - ВС, высоту АА1.
Угол А1ВА=60° (дано)
А1А=АВ•tg60°=5√3
Площадь основания АВ•BC=5•3=15 Оснований два. S=2•15=30 см²
Площадь боковой пов-сти АА1•2(AB+BC)=5√3•16=80√3 см²
Sполн=(30+80√3) см²
Найти: угол 3.
Решение:
Угол 3 и угол 1 - соотвественные углы при параллельных прямых a и b и секущей c. Следовательно, угол 3 = углу 1.
Углы 1 и 2 - односторонние при параллельных прямых a и b и секущей c⇒ угол 1 + угол 2 = 180°. Но, по условию, угол 2 = угол 1 + 34°. Подставим это выражение:
угол 1 + угол 1 + 34° = 180°.
Отсюда угол 1 = 73°.
Значит, угол 3 = 73°.
ответ: 73°.
2. Дано: ΔАВС, угол С = 90°, CD || AB, угол DCB = 37°.
Найти: угол А, угол В.
Рисунок к задаче - в приложении к ответу.
Решение:
Угол DCB и угол B - накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BC ⇒ угол DCB = углу B.
Т.к. угол DCB = 37°, то угол B = 37°.
Угол A + угол В + угол ACB = 180° (по теореме о сумме углов треугольника), следовательно, угол A = 180° - угол В - угол ACB.
Угол А = 180° - 90° - 37° = 53°.
ответ: угол А = 53°, угол В = 37°.