Бічна сторона рівнобедреного трикутника ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 3:8, рахуючи від вершини кута при основі трикутника. Знайдіть основу трикутника, якщо його периметр дорівнює 56 см.

1) В равнобедренном ΔАВС АС=ВС и СМ - высота, медиана и биссектриса,

ОМ - радиус вписанной окружности, КА=АМ=NB=MB=8x, KC=CN=9x.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

S=1/2AB*CM.

2) Рассмотрим ΔCMB - прямоугольный.

По т.Пифагора находим СМ=√(ВС²-ВМ²)=√((17х)²-(8х)²)=√(289х²-64х²)=

=√(225х²)=15х.

Так как центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис, то можно использовать свойство биссектрисы: b:c=b1:c1.

Используем это свойство для ΔСМВ и биссектрисы ВО:

СB:BM=CO:OM;

17x:8x=CO:16;

17:8=CO:16;

CO=17*16/8=34 (см).

СМ=СО+ОМ=34+16=50 (см).

СМ=15х=50;

x=50/15=10/3.

3) ΔABC: AB=16x=16*10/3=160/3 (см).

СМ=50 см.

Находим площадь ΔАВС:

S=1/2*AB*CM=1/2*160/3*50=4000/3=1333 (см²).

ответ: 1333 см².

Подробнее - на -