Бічне ребро похилого паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорів-
нює 6 см, а площа бічної поверхні — 312 см2. Відстань між
ребрами AA1 і BB1 дорівнює 5 см, а між ребрами BB1 і DD1 —
19 см. Знайдіть
двогранні кути паралелепіпеда при ребрах AA1
і BB1.

Возможны 2 варианта - точки B и D лежат либо по одну сторону от AC, либо по разные (см. рисунок, окружность не рисовал из-за отсутствия циркуля).

Точки лежат по одну сторону - так как CD=AD, треугольник ACD равнобедренный. Угол ADC опирается на диаметр AC, значит, он прямой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы равны 45, 45, 90. Значит, угол ACD равен 45 градусам, а угол BCD равен 45-30=15 градусам. Угол BAD равен углу BCD, так как они опираются на одну и ту же дугу BD. Значит, оба угла равны 15 градусам.

Точки лежат по разные стороны - треугольник ADC равнобедренный прямоугольный с углами 45, 45, 90. Треугольник ABC также прямоугольный, если один из острых углов равен 30 градусам, то второй - CAB - будет равен 90-30=60 градусам. Тогда угол BAD равен 45+60=105 градусам, а угол BCD равен 45+30=75 градусам.

В выпуклом n-угольнике всего n(n-3)/2  диагонали, так как можно выбрать одну из вершин и выбрать другую вершину, не смежную с уже выбранной. Каждая диагональ будет посчитана 2 раза, поэтому нужно разделить результат на 2. Таким образом, нужно решить уравнение n(n-3)/2=77 или n(n-3)=154. Можно просто подобрать n или решить квадратное уравнение n²-3n-154=0 : 
n²-3n-154=0
D=9+154*4=9+616=625
n₁=(3+25)/2=14
n₂=(3-25)/2=-11 - посторонний корень, число сторон положительно. 

Таким образом, n=14, то есть в многоугольнике 14 сторон. В выпуклом n-угольнике сумма углов равна 180(n-2), тогда сумма углов выпуклого 14-угольника будет равна 180(14-2)=180*12=2160 градусам.