б) Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны `7` и `sqrt(15)`(корень из 15). Найдите расстояние между серединами оснований. в) Углы при большем основании трапеции равны `61^@` и `29^@`. Точки `M` и `N` – середины оснований, точки `P` и `Q` – середины боковых сторон. Найдите основания трапеции, если `MN=4` и `PQ=7`.

ответ: б)  4   в)  3  и   11

Объяснение:  б). Пусть трапеция АВСD .  Диагональ АС=√15 , диагональ BD=7.  О- точка пересечения диагоналей.   М- середина основания ВС, N- середина стороны AD .  Заметим, что MN проходит через точку О. В принципе это отдельная теорема, но мы будем считать ее известной.

Тогда ОМ это медиана прямоугольного треугольника ВОС.  И по свойству медианы,  проведенной из вершины прямого угла,  она равна половине гиптенузы.

То есть ОМ=ВС/2

Аналогично из треугольника AOD:  ON=AD/2

Тогда OM+ON=MN=(BC+AD)/2     (1)

Чтобы найти (BC+AD)/2,  найдем площадь трапеции ABCD.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны друг другу, то

S(ABCD)=AC*BD/2=7*√15/2

С другой стороны S(ABCD)=(BC+AD)/2*h   (2)

, где h  высота трапеции.

Проведем отрезок СТ параллельный BD до пересечения с прямой AD.

Заметим, что искомая высота трапеции ABCD будет являться и высотой в треугольнике АСТ, проведенной из вершины С ( перпендикуляр между двумя параллельными прямыми).

Заметим что угол АСТ тоже прямой и треугольник АСТ прямоугольный.

Найдем гипотенузу АТ этого треугольника .

АТ=sqrt(AC²+CT²)=sqrt(15+49)=8

Тогда высота треугольника  АСТ  h= AC*CT/AC=7*√15/8

Теперь из формулы (2) найдем (BC+AD)/2:

(BC+AD)/2*h= 7*√15/2

(BC+AD)/2=7*√15/2/ (7*√15/8)=4

Из формулы (1)   MN= (BC+AD)/2 =4

в). Пусть трапеция АВСD .  Угол ∡А= 61°,  ∡D=29°.

Заметим, что PQ - средняя линия трапеции= (ВС+ AD)/2=7

=> BC+AD=14

Пусть ВС=х  AD=y

=>x+y=14   (1)

Проведем через точку М отрезок МК параллельный стороне АВ и МS параллельный стороне CD.   Точки К и S принадлежат отрезку АD.

Тогда в треугольнике КМS ∡К=∡А=61°, а ∡S=∡D=29°.

Тогда угол М треугольника КМР равен:

∡М=180°-61°-29°=90°

То есть треугольник КМS прямоугольный, где гипотенуза

КS= AD-BC=y-x

MN в этом треугольнике медиана, и по теореме о медиане в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

MN=4= (y-x)/2

y-x=8   (2)

Решая систему уравнений (1) и (2) получим х=3  у=11