B) Используя результаты предыдущего действия решите: cos(2x + pi/6) < - (sqrt(3))/2 c) Найдите решение неравенства: 1/2 * cos 2x + (sqrt(3))/2 * sin 2x < - (sqrt(3))/2
а) Первое, что нам необходимо сделать, это предположить, что неравенство cos(2x + pi/6) < - (sqrt(3))/2 может быть истинным. Далее, наша задача состоит в том, чтобы найти все значения x, для которых это неравенство выполняется.
б) Мы можем использовать тригонометрическую формулу cos(2A) = 1 - 2sin^2(A) для преобразования выражения cos(2x + pi/6). Заметим, что A = x + pi/12, поэтому cos(2x + pi/6) = 1 - 2sin^2(x + pi/12).
А теперь давайте решим неравенство 1 - 2sin^2(x + pi/12) < - (sqrt(3))/2.
в) Заметим, что - (sqrt(3))/2 = - 1/2 * sqrt(3), и поэтому наше неравенство принимает вид 1 - 2sin^2(x + pi/12) < - 1/2 * sqrt(3).
г) Присвоим sin^2(x + pi/12) значение t и перепишем неравенство: 1 - 2t < - 1/2 * sqrt(3).
д) Решим полученное квадратное уравнение: -2t < - 1/2 * sqrt(3) - 1. Переведём знак и поменяем местами части неравенства: 2t > 1/2 * sqrt(3) + 1.
е) Далее, поделим обе части неравенства на 2: t > 1/4 * sqrt(3) + 1/2.
ж) Подставим обратно значение sin^2(x + pi/12): sin^2(x + pi/12) > 1/4 * sqrt(3) + 1/2.
з) Используя тригонометрическое тождество sin^2(A) + cos^2(A) = 1, мы можем выразить cos^2(A) как 1 - sin^2(A): 1 - sin^2(A) > 1/4 * sqrt(3) + 1/2.
и) Полученное неравенство сводится к виду sin^2(A) < 3/4 - 1/2 + 1/4 * sqrt(3).
н) И, наконец, находим корни неравенства: sin(A) < sqrt(12 + 6sqrt(3))/2.
о) Заметим, что наше неравенство имеет вид sin(A) < (sqrt(3) + 1)/2. Используя таблицу значений синуса, можем сделать вывод, что данное неравенство выполняется для всех углов A, лежащих в промежутке от pi/2 до 7pi/6 (не включая концы).
Ответ: неравенство cos(2x + pi/6) < - (sqrt(3))/2 выполняется для всех x, лежащих в промежутке между pi/2 и 7pi/6 (не включая концы).
а) Первое, что нам необходимо сделать, это предположить, что неравенство cos(2x + pi/6) < - (sqrt(3))/2 может быть истинным. Далее, наша задача состоит в том, чтобы найти все значения x, для которых это неравенство выполняется.
б) Мы можем использовать тригонометрическую формулу cos(2A) = 1 - 2sin^2(A) для преобразования выражения cos(2x + pi/6). Заметим, что A = x + pi/12, поэтому cos(2x + pi/6) = 1 - 2sin^2(x + pi/12).
А теперь давайте решим неравенство 1 - 2sin^2(x + pi/12) < - (sqrt(3))/2.
в) Заметим, что - (sqrt(3))/2 = - 1/2 * sqrt(3), и поэтому наше неравенство принимает вид 1 - 2sin^2(x + pi/12) < - 1/2 * sqrt(3).
г) Присвоим sin^2(x + pi/12) значение t и перепишем неравенство: 1 - 2t < - 1/2 * sqrt(3).
д) Решим полученное квадратное уравнение: -2t < - 1/2 * sqrt(3) - 1. Переведём знак и поменяем местами части неравенства: 2t > 1/2 * sqrt(3) + 1.
е) Далее, поделим обе части неравенства на 2: t > 1/4 * sqrt(3) + 1/2.
ж) Подставим обратно значение sin^2(x + pi/12): sin^2(x + pi/12) > 1/4 * sqrt(3) + 1/2.
з) Используя тригонометрическое тождество sin^2(A) + cos^2(A) = 1, мы можем выразить cos^2(A) как 1 - sin^2(A): 1 - sin^2(A) > 1/4 * sqrt(3) + 1/2.
и) Полученное неравенство сводится к виду sin^2(A) < 3/4 - 1/2 + 1/4 * sqrt(3).
к) Упрощая и решая неравенство, получаем следующее: sin^2(A) < 1/4 * (3 + sqrt(3)).
л) Возведём обе части неравенства в квадрат: sin^2(A) < 1/4 * (3 + sqrt(3))^2.
м) Упрощаем выражение: sin^2(A) < 1/4 * (9 + 6sqrt(3) + 3) = 1/4 * (12 + 6sqrt(3)).
н) И, наконец, находим корни неравенства: sin(A) < sqrt(12 + 6sqrt(3))/2.
о) Заметим, что наше неравенство имеет вид sin(A) < (sqrt(3) + 1)/2. Используя таблицу значений синуса, можем сделать вывод, что данное неравенство выполняется для всех углов A, лежащих в промежутке от pi/2 до 7pi/6 (не включая концы).
Ответ: неравенство cos(2x + pi/6) < - (sqrt(3))/2 выполняется для всех x, лежащих в промежутке между pi/2 и 7pi/6 (не включая концы).