Цитата: "Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники." Диагональ основания призмы ВD параллельна диагонали сечения ЕЕ1 (доказывать не надо). Тогда ВЕ=ОО1, а искомое расстояние от В до плоскости АЕС1 равно перпендикуляру ОН, основание которого Н лежит на диагонали призмы АС1. В треугольнике ОНО1 угол <НОО1 равен углу треугольника АСС1 <CAC1, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Cos(<CAC1)=АС/АС1. АС - диагональ основания призмы (квадрата) и равна 4√2. АС1 - диагональ призмы (и диагональ сечения) и равна √(АС²+СС1²)=√(32+4)=6. Тогда Cos(<СAC1)=4√2/6=2√2/3. В треугольнике ОНО1: ОН=ОО1*Cos(<HOO1)=1*2√2/3=2√2/3. ответ: искомое расстояние равно 2√2/3.
Координатный метод: поместим начало координат в точку В. Пусть ВС- ось X, BB1- ось Y, BA - ось Z. Мы имеем: Точки А(0;0;4)В(0;0;0), Е(0;1;0), C1(4;2;0). Теперь можем написать уравнения плоскости, проходящей через 3 точки и найти расстояние от точки В до плоскости АЕС1. Для составления уравнения плоскости АЕС1 используем формулу: |x - xА xЕ - xА xС1 - xА| |y - yА yЕ - yА yС1 - yА| = 0. |z - zА zЕ - zА zС1 - zА| Подставим данные трех наших точек А,Е и С1: |х-0 0 4 | |y-0 1 2 | = 0. |z-4 -4 -4 | Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости: | 1 2 | | 0 4 | |0 4| х*|-4 -4 | - y*|-4 -4 | + (z-4)*|1 2| =0. Или: x(-4+8)- y(0+16) +(z-4)(0-4)=0 или 4x-16y-4z+16=0 или x-4y-z+4=0. Итак, имеем плоскость в виде Ax+By+Cz+D=0: x-4y-z+0=0, где А=1, В=-4, С=-1, D=4 и точку В(0;0;0). Надо найти расстояние от этой точки до плоскости. Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки В(Вx, Вy, Вz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу: d=|A*Bx+B*By+C*Bz+D|/√(A²+B²+C²); В нашем случае: d=|4|/√(1+16+1)=4/(3√2)=2√2/3. ответ: расстояние от В до плоскости АЕС1 равно 2√2/3.
В треугольнике АВС угол С прямой, АС= 4. Чему равно расстояние от вершины В до биссектрисы угла А, если расстояние от вершины С до этой биссектрисы равно 2? –––––––––––––––––– См. рисунок приложения. Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр. Пусть точка пресечения перпендикуляра из С с биссектрисой угла А будет Е, а из вершины В - К. В ⊿ СЕА катет СЕ равен половине гипотенузы СА. Это - свойство катета, противолежащего углу, равному 30°. Следовательно, ∠САЕ=30° Тогда ∠ВАК треугольника ВКА равен 30°, т.к. АЕ - биссектриса ∠ ВАС, и∠ВАЕ=∠САЕ=30° Отсюда ∠ВАС=60° Тогда СА противолежит углу В, который равен 30°, и гипотенуза ВА треугольника АВС=2 СА=8. В ⊿ ВКА катет ВК противолежит углу 30°. По свойству такого катета ВК равен АВ:2=4 (ед. длины)
Диагональ основания призмы ВD параллельна диагонали сечения ЕЕ1 (доказывать не надо). Тогда ВЕ=ОО1, а искомое расстояние от В до плоскости АЕС1 равно перпендикуляру ОН, основание которого Н лежит на диагонали призмы АС1. В треугольнике ОНО1 угол <НОО1 равен углу треугольника АСС1 <CAC1, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Cos(<CAC1)=АС/АС1.
АС - диагональ основания призмы (квадрата) и равна 4√2.
АС1 - диагональ призмы (и диагональ сечения) и равна √(АС²+СС1²)=√(32+4)=6. Тогда Cos(<СAC1)=4√2/6=2√2/3.
В треугольнике ОНО1: ОН=ОО1*Cos(<HOO1)=1*2√2/3=2√2/3.
ответ: искомое расстояние равно 2√2/3.
Координатный метод: поместим начало координат в точку В. Пусть ВС- ось X, BB1- ось Y, BA - ось Z.
Мы имеем:
Точки А(0;0;4)В(0;0;0), Е(0;1;0), C1(4;2;0).
Теперь можем написать уравнения плоскости, проходящей через 3 точки и найти расстояние от точки В до плоскости АЕС1.
Для составления уравнения плоскости АЕС1 используем формулу:
|x - xА xЕ - xА xС1 - xА|
|y - yА yЕ - yА yС1 - yА| = 0.
|z - zА zЕ - zА zС1 - zА|
Подставим данные трех наших точек А,Е и С1:
|х-0 0 4 |
|y-0 1 2 | = 0.
|z-4 -4 -4 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение
плоскости:
| 1 2 | | 0 4 | |0 4|
х*|-4 -4 | - y*|-4 -4 | + (z-4)*|1 2| =0.
Или:
x(-4+8)- y(0+16) +(z-4)(0-4)=0 или 4x-16y-4z+16=0 или x-4y-z+4=0.
Итак, имеем плоскость в виде Ax+By+Cz+D=0:
x-4y-z+0=0, где А=1, В=-4, С=-1, D=4 и точку В(0;0;0).
Надо найти расстояние от этой точки до плоскости.
Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки В(Вx, Вy, Вz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:
d=|A*Bx+B*By+C*Bz+D|/√(A²+B²+C²); В нашем случае:
d=|4|/√(1+16+1)=4/(3√2)=2√2/3.
ответ: расстояние от В до плоскости АЕС1 равно 2√2/3.
––––––––––––––––––
См. рисунок приложения.
Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр.
Пусть точка пресечения перпендикуляра из С с биссектрисой угла А будет Е, а из вершины В - К.
В ⊿ СЕА катет СЕ равен половине гипотенузы СА. Это - свойство катета, противолежащего углу, равному 30°.
Следовательно, ∠САЕ=30°
Тогда ∠ВАК треугольника ВКА равен 30°, т.к. АЕ - биссектриса ∠ ВАС, и∠ВАЕ=∠САЕ=30°
Отсюда ∠ВАС=60°
Тогда СА противолежит углу В, который равен 30°, и гипотенуза ВА треугольника АВС=2 СА=8.
В ⊿ ВКА катет ВК противолежит углу 30°. По свойству такого катета ВК равен АВ:2=4 (ед. длины)